559. VypoΦφtajte celkov² nßboj Zeme a ploÜn· hustotu nßboja na jej povrchu, ke∩ gradient potencißlu elektrickΘho po╛a zemskΘho ovzduÜia je na povrchu Zeme 100 V.m-1 a ke∩ polomer Zeme je 6378 km.
 |
|
R = 6378 km = 6378000 m, E = 100 V.m-1, er = 1,00059, e0 = 8,854.10-12 C2.N-1.m2, Q, s = ? |
|
Zem s vo╛n²m nßbojom Q je obklopenß nekoneΦn²m plynn²m dielektrick²m prostredφm s relatφvnou permitivitou er. Na dotykovej ploche vznikne v d⌠sledku polarizßcie dielektrika viazan² nßboj Q┤. Okolo Zeme s nßbojom Q zostrojφme gu╛ov· plochu S a poΦφtame v²tok elektrickej indukcie D z vn·tra tejto plochy. Predpokladßme, ₧e v d⌠sledku stredovej s·mernosti Zeme mß i jej pole rovnak· s·mernos¥ a m⌠₧eme tvrdi¥, ₧e D mß smer sprievodiΦa r a vÜade na gu╛ovej ploche mß rovnak· ve╛kos¥. Potom zo zovÜeobecnenej Gaussovej vety pre dielektrikum vypl²va:
,
(1)
tok vektora elektrickej indukcie D ╛ubovo╛nou uzavretou plochou sa rovnß vo╛nΘmu nßboju, ktor² plocha uzatvßra. (Tie₧ sa naz²va Maxwellov zßkon.) Ke∩₧e indukcia elektrickΘho po╛a D s·visφ s intenzitou elektrickΘho po╛a E vz¥ahom:
,
(2)
·pravou zovÜeobecnenej Gaussovej vety dostaneme:
,
(3)
preto₧e z vlastnostφ skalßrneho s·Φinu pre siloΦiary E kolmΘ na plochu S vypl²va:
.
(4)
Ke∩₧e pre ve╛kos¥ nßboja dQ na povrchu elementßrnej plochy dS Zeme platφ:
,
(5)
kde s je ploÜnß hustota elektrickΘho nßboja vo zvolenom bode pl⌠Üky dS, m⌠₧eme vyu₧itφm Gaussovej vety pφsa¥:
.
(6)
Z predchßdzaj·ceho vz¥ahu vypl²va, ₧e h╛adan· ploÜn· hustotu nßboja sv danom mieste na povrchu Zeme m⌠₧eme vypoΦφta¥ pomocou Coulombovej vety:
(7)
ako s·Φin permitivity prostredia e nachßdzaj·ceho sa na povrchu Zeme a intenzity elektrickΘho po╛a E zadefinovanej ako gradient potencißlu j:
.
(8)
Porovnanφm vz¥ahov (2) a (7) zistφme, ₧e ploÜnß hustota nßboja spredstavuje ve╛kos¥ vektora elektrickej indukcie D. Dosadenφm zadan²ch hodn⌠t do vz¥ahu (7) dostaneme:
(9)
Ke∩₧e je elektrick² nßboj Q rozlo₧en² rovnomerne na gu╛ovej ploche s polomerom R, pole v mieste s polohov²m vektorom r (pre r > R) je takΘ istΘ ako v prφpade bodovΘho nßboja ulo₧enΘho v strede gule:
,
(10)
priΦom dQ predstavuje nßboj pripadaj·ci na element povrchu dS. Vo vn·tri gule (r < R) sa intenzita po╛a rovnß nule. Celkov² nßboj Q na povrchu Zeme urΦφme zo vz¥ahu (3) [prφpadne zo vz¥ahu (10)], priΦom pre polomer r gu╛ovej plochy na jej povrchu platφ r = R:
.
(11)
.
Celkov² nßboj Zeme je 4,53 . 105 C a ploÜnß hustota nßboja na zemskom povrchu je 8,86 . 10-10 Cm-2.
Intenzita
spoloΦnΘho gravitaΦnΘho po╛a
