53. Hmotn² bod konß pohyb po kru₧nici s polomerom R = 20 cm so stßlym uhlov²m zr²chlenφm e = 2 s^-2. VypoΦφtajte hodnotu tangencißlneho, normßlovΘho a celkovΘho zr²chlenia na konci Ütvrtej sekundy od zaΦiatku pohybu, ke∩ v Φase t = 0 s bol hmotn² bod v pokoji!

Pri pohybe po kru₧nici mo₧no zr²chlenie hmotnΘho bodu rozlo₧i¥ na zlo₧ku tangencißlnu (dotyΦnicov·) a_t a zlo₧ku normßlov· (dostrediv·) a_n, priΦom platφ:

a = a_t + a_n = dv / dt t  +  v² / R r  ,

(1)

kde t je jednotkov² vektor v smere dotyΦnice a r je jednotkov² vektor smeruj·ci do stredu kru₧nice. Pre tangencißlne zr²chlenie a_t m⌠₧eme pφsa¥:

a_t = R e

(2)

a pre normßlovΘ zr²chlenie a_n:

a_n = v² / R = w² R  .

(3)

Pre ve╛kos¥ celkovΘho zr²chlenia teda platφ:

| a | = ( a_t² + a_n² )^1/2 = ( R² e² + v⁴ / R² )^1/2  .

(4)

Uhlovß r²chlos¥ w a uhlovΘ zr²chlenie e pohybuj·ceho sa bodu s· definovanΘ vz¥ahmi:

w = da / dt  ,

(5)

e = dw / dt = d²a / dt²  ,

(6)

kde a predstavuje vektor, ktorΘho hodnota je danß ve╛kos¥ou uhla opφsanΘho polohov²m vektorom pohybuj·ceho sa bodu. S·vis uhlovej r²chlosti w s obvodovou r²chlos¥ou v pohybuj·ceho sa bodu po kru₧nici vyjadruje vz¥ah:

v = w x R  _,

(7)

kde R je polomer kru₧nice. Ke∩₧e sa hmotn² bod pohybuje po kru₧nici s konÜtantn²m uhlov²m zr²chlenφm e, pre uhlov· r²chlos¥ w platφ:

w = ≥ e dt = e t + w₀  .

(8)

Ke∩₧e je uhlovß r²chlos¥ na zaΦiatku nulovß (w₀ = 0 rad.s^-1), pre uhlov· r²chlos¥ w v ╛ubovo╛nom Φase t mo₧eme pφsa¥:

  w = e t

 (9)

Po dosadenφ konkrΘtnych hodn⌠t dostßvame pre uhlov· r²chlos¥ w :

v = w R

v = 8 s^-1 . 20 cm

v = 160 cm.s^-1

ZφskanΘ hodnoty dosadφme do vz¥ahov (2), (3) a (4) pre v²poΦet ve╛kostφ tangencißlneho a_t, normßlovΘho a_n a celkovΘho zr²chlenia a:

a_t = 20 cm . 2 s^-2

a_t = 40 cm.s^-2

a_n = (160 cm.s^-1)² / 20 cm

a_n = 1280 cm.s^-2

a = [ (40 cm.s^-2)² + (1280 cm.s^-2)² ]^1/2

a = 1280,6 cm.s^-2

Hodnota celkovΘho zr²chlenia v Φase 4 s je 1280,6 cm.s^-2.

Absol·tne Φierne teleso