home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18852 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-28  |  3.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!europa.eng.gtefsd.com!gatech!paladin.american.edu!howland.reston.ans.net!sol.ctr.columbia.edu!The-Star.honeywell.com!umn.edu!gaia.ucs.orst.edu!pmontgom
  2. From: pmontgom@math.orst.edu (Peter Montgomery)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Matrix Problem
  5. Date: 28 Jan 1993 19:15:34 GMT
  6. Organization: Oregon State University Math Department
  7. Lines: 53
  8. Message-ID: <1k9bcmINN34t@gaia.ucs.orst.edu>
  9. References: <C1Knzo.54s@ecf.toronto.edu>
  10. NNTP-Posting-Host: ilanga.math.orst.edu
  11.  
  12. In article <C1Knzo.54s@ecf.toronto.edu> rairan@ecf.toronto.edu (RAI Ranjan) 
  13. writes:
  14. >I remember a result from first year linear algebra that said that the
  15. >eigenvectors of AB are the same as the eigenvectors of BA where A and B
  16. >are nxn real matrices.  I don't know how to prove this.  Any pointers or
  17. >references to the proof?
  18.  
  19.         AB and BA have the same eigenvalues, but not the same eigenvectors.
  20.  
  21.         Consider two matrices A and B with symbolic entries.
  22. The characteristic polynomials det(lambda*I - AB) and
  23. det(lambda*I - BA) are polynomials in these entries and lambda.
  24. We claim that these are the same polynomial.
  25.  
  26.         Since A has symbolic entries, it is invertible in
  27. the field generated by its coefficients.  Then
  28.  
  29. det(lambda*I - AB) = det(lambda*A*A^(-1) - AB)
  30.                    = det(A) * det(lambda*A^(-1) - B)
  31.                    = det(lambda*A^(-1) - B) * det(A)
  32.                    = det(lambda*A^(-1)*A - BA)
  33.                    = det(lambda*I - BA)
  34.  
  35. in the field of rational functions generated by the symbolic coefficients
  36. of A and B.  Since both det(lambda*I - AB) and det(lambda*I - BA) are
  37. polynomials, they must also agree as polynomials.
  38.  
  39.         If two polynomials are the same, then they generate the same
  40. polynomial function.  Upon substituting numerical values into the coefficients
  41. of A and B, the two characteristic polynomials will agree.
  42. Hence they have the same roots, which are the eigenvalues of AB and BA.
  43.  
  44.         The reader may feel uncomfortable if his numerical A is
  45. singular (i.e. non-invertible).  As an analogy, consider the derivation
  46.  
  47.                     x^6 - 1   (x^3 - 1)(x^3 + 1)
  48.     x^4 + x^2 + 1 = ------- = ------------------ = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
  49.                     x^2 - 1     (x - 1)(x + 1)
  50.  
  51. of the polynomial identity x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1).
  52. The left and right sides agree as rational functions (by the derivation)
  53. and hence must be the same polynomial.  Therefore the two agree
  54. at all numerical values of x, including x = +- 1, even though we
  55. divided by x - 1 and x + 1 during the proof.
  56.  
  57.         EXERCISE:  Find two 2 x 2 matrices A, B such that AB and BA 
  58. are not similar (i.e., there is no 2 x 2 invertible matrix C such that
  59. (AB)C = C(BA).
  60. -- 
  61.         Peter L. Montgomery              Internet: pmontgom@math.orst.edu
  62.         Dept. of Mathematics, Oregon State Univ, Corvallis, OR 97331-4605 USA
  63. My visiting professorship ends in June.  Interested in program optimization,
  64. compilers, computer arithmetic, number theory.  17 yrs industrial experience.
  65.