home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18564 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-21  |  2.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!uknet!comlab.ox.ac.uk!pcl
  2. From: pcl@ox.ac.uk (Paul C Leyland)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Distribution of primes mod 4
  5. Message-ID: <PCL.93Jan21100948@rhodium.ox.ac.uk>
  6. Date: 21 Jan 93 10:09:48 GMT
  7. References: <winer.727385758@husc.harvard.edu>
  8. Organization: Oxford University Computing Services, 13 Banbury Rd Oxford OX2
  9.     6NN
  10. Lines: 50
  11. In-reply-to: winer@husc10.harvard.edu's message of 18 Jan 93 19:35:58 GMT
  12.  
  13. In article <winer.727385758@husc.harvard.edu> winer@husc10.harvard.edu (Adam Winer) writes:
  14.  
  15.    If you keep a running total of the number of prime congruent to 1 mod 4
  16.    minus the number of primes congruent to 3 mod 4 (less than a given number,
  17.    of course), this is _almost_ always non-positive.  The first (and last)
  18.    example I know of is 26861.  Does anyone out there know of a second
  19.    example? (and no, I don't mean 26862 :-)
  20.  
  21. There were lots of other questions.  For instance:
  22.  
  23. Adam Winer, WINER@HUSC.HARVARD.EDU :
  24.  
  25.    1) what the second number is.
  26.    2) if not, what can I use to get an upper bound for a search?
  27.  
  28.  
  29. Hans Riesel's book _Prime Numbers and Computer Methods for
  30. Factorization_, Pub. Birkhauser (1985) has a section on this topic
  31. (pp.79-84).  The following information is lifted from this book.
  32.  
  33. Please note:  Riesel has the subtraction the other way round from
  34. Winer.  I follow Riesel's sign convention, purely to help reduce
  35. transcription errors.
  36.  
  37.  
  38. Firstly, the second block of negative values starts at 616841.  There
  39. are several short dips into the negative region, the deepest of which
  40. lies between 623437 and 623803, where the difference falls as low as
  41. -8 for 623681.  The last value in this region is 641639.  The third
  42. region is around 12366589 where the lowest value occurs (-24).  The
  43. difference remains negative over the entire range 12361933 - 12377279.
  44. There are other long bands of negative values beginning around
  45. 9.5185e8; 6.34e9 and 1.854e10
  46.  
  47. These results by Bays and Hudson, Math. Comp. _32_ (1978), pp. 281-286
  48.  
  49. Allan Adler (ara@altdorf.ai.mit.edu) asks:
  50.  
  51.    What is the proof that it changes sign infinitely often?
  52.  
  53. See: JE Littlewood, Comptes Rendu _158_ (1914) pp1869-1872
  54.  
  55.  
  56.  
  57. If anyone is interested in the corresponding question about primes of
  58. the form $6n \pm 1$, see Bays and Hudson, Math. Comp. _32_ (1978),
  59. pp. 571-576
  60.  
  61.  
  62. Paul
  63. --
  64. Paul Leyland <pcl@oxford.ac.uk>          | Hanging on in quiet desperation is
  65. Oxford University Computing Service      |     the English way.
  66. 13 Banbury Road, Oxford, OX2 6NN, UK     | The time is come, the song is over.
  67. Tel: +44-865-273200  Fax: +44-865-273275 | Thought I'd something more to say.
  68. Finger pcl@black.ox.ac.uk for PGP key    |
  69.