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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / physics / 21993 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-01  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!news.claremont.edu!nntp-server.caltech.edu!brandt
  2. From: brandt@cco.caltech.edu (William N. Brandt)
  3. Newsgroups: sci.physics
  4. Subject: Schrodinger hydrogen atom partition function divergence
  5. Date: 1 Jan 1993 15:41:50 GMT
  6. Organization: California Institute of Technology, Pasadena
  7. Lines: 38
  8. Message-ID: <1i1onuINNgh@gap.caltech.edu>
  9. NNTP-Posting-Host: sandman.caltech.edu
  10. Summary: Schrodinger hydrogen atom partition function divergence
  11.  
  12. I have a question about the partition function of the Schrodingert
  13. hydrogen atom. The energy eigenvalues for such an atom go like
  14. 13.6 ev * (1/n^2) so if we compute Z, the partition function,
  15.  
  16.         Z = Sum[g_n * exp(-E_n/(k*T))]
  17.  
  18. (g_n is the degeneracy of the nth state, k is Boltzman's constant,
  19. and T is tempertature) we notice that E_n tends to zero so the
  20. exponential tends to 1 so we get an explosively diverging series
  21. since the g_n's tend to increase.
  22.  
  23. Since Z is not a QM observable this looks at first sight not to be a
  24. problem. However, since the population of a given level goes as
  25. 1/Z (and this is an observable) this would seem to indicate that
  26. the Schrodinger hydrogen atom cannot contain an electron.
  27.  
  28. I know astronomers resolve this problem by lopping off the partition
  29. function sum when the bohr radius of the nth state is approximately
  30. the mean atomic spacing, since EM effects would prohibit higher
  31. states. However, is there a fundamental resolution to this
  32. apparent problem? Or is it not really a problem and why? I notice
  33. that the rigid rotator and harmonic oscillator partition functions
  34. nicely converge - are there other examples of systems with divergent
  35. partition functions (I assume most atoms will have similar problems,
  36. for example).
  37.  
  38. Does the Dirac equation perhaps remedy this situation, since
  39. eventually 'tickling' of high n states by QM vacuum fluctuations
  40. will make very high n states impossible? Or is this not the case
  41. and why?
  42.  
  43. I would be grateful if you could send email as well as posting.
  44.  
  45. Thank you, Niel Brandt
  46.  
  47. P.S. Any references to this potential problem would also be appreciated.
  48. P.P.S. Thank to all for answering my previous Feynman graph question.
  49.  
  50.