home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / philosop / tech / 4657 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-30  |  6.4 KB
  1. Xref: sparky sci.philosophy.tech:4657 sci.logic:2509
  2. Newsgroups: sci.philosophy.tech,sci.logic
  3. Path: sparky!uunet!pmafire!mica.inel.gov!guinness!opal.idbsu.edu!holmes
  4. From: holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes)
  5. Subject: Re: Quantifiers
  6. Message-ID: <1992Dec30.230419.4341@guinness.idbsu.edu>
  7. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  8. Nntp-Posting-Host: opal
  9. Organization: Boise State University
  10. References: <1hntpkINNnp8@cat.cis.Brown.EDU> <1992Dec30.183153.2819@guinness.idbsu.edu> <1hsvljINNb0h@cat.cis.Brown.EDU>
  11. Date: Wed, 30 Dec 1992 23:04:19 GMT
  12. Lines: 142
  13.  
  14. In article <1hsvljINNb0h@cat.cis.Brown.EDU> PL436000@brownvm.brown.edu (Jamie) writes:
  15. >>From: holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes)
  16. >
  17. >Oh, good, he's back.
  18. >
  19. >I'm only going to reply to this one, not to the later two.
  20. >
  21. >>>>I do not agree with Zeleny that quantification involves ontological
  22. >>>>commitment to the domain over which one is quantifying as a completed
  23. >>>>totality.  It merely involves commitment to each of the objects in the
  24. >>>>domain.  I'll admit that I am committed to an ontology including all
  25. >>>>of the quantification ranges, since there is only one, the universe,
  26. >>>>which is in fact an object!  But this involves taking unfair advantage
  27. >>>>of my NF advocacy; even from a ZFC standpoint, it can be observed that
  28. >>>>quantification ranges are not necessarily objects; they can be
  29. >>>>non-reified predicates, and they can be "referred to" using
  30. >>>>syntactical means.
  31. >>>
  32. >>>I hope I don't have to ask for the longer reply!
  33. >>
  34. >>Well, yes, you do.  Do you want it?
  35. >
  36. >Yes (he said with some trepidation).
  37. >
  38. >>I'm not sure which paradox is Grellings's.  It is possible to state
  39. >>semantic paradoxes using quoted predicates instead of reified
  40. >>predicates; for instance "'Yields a falsehood when preceded by its
  41. >>quotation' yields a falsehood when preceded by its quotation".  What
  42. >>"gives" here is the existence of the truth (or falsehood) predicate
  43. >>for sentences.  But these are not set-theoretical paradoxes; the set
  44. >>theoretical paradoxes all involve reification.
  45. >
  46. >Ok. You won't get a set-theoretic paradox unless the work is done
  47. >with sets. I should have understood what you were saying, but
  48. >I didn't.
  49. >
  50. >You now know what Grelling's paradox is. I suppose it won't be the
  51. >Truth predicate that "gives," then, but the "satisfaction"
  52. >predicate.
  53. >
  54. >>Not exactly.  The trick I favor is to adopt the axiom of stratified
  55. >>comprehension, which implies that separation must be false.  I have
  56. >>been at pains to point out that my objections to Zeleny's arguments on
  57. >>this thread have the same force from the usual ZFC standpoint.
  58. >>Russell's paradox shows that Separation must fail in any set theory
  59. >>with a universal set, but I see no virtue in abandoning Separation
  60. >>_per se_; I abandon it in pursuit of something else.
  61. >
  62. >Ok.
  63. >
  64. >>>I can restrict my quantifiers, too. I suppose that denying Separation
  65. >>>means that there are some ways I cannot restrict them. For example,
  66. >>>I CAN say something like, "Everything blue is also square." May
  67. >>>I also say, meaningfully, "Every quantifier that has another
  68. >>>quantifier in its range commits its employer to abstract objects"?
  69. >>
  70. >>No.  First-order logic does not commit one to abstract objects at all.
  71. >
  72. >No, but I thought you had no compunctions about abstract objects.
  73. >So I'm not following you here.
  74. >Oh, wait, I get it.
  75. >As the sequel shows, I wasn't asking whether I could say that TRULY.
  76. >
  77. >>>(I am not at all interested, right now, in whether I can say that
  78. >>>TRULY, only MEANINGFULLY.)
  79. >>
  80. >>I conjecture that you can say it meaningfully, but I think that it
  81. >>comes down to some kind of statement about syntax.  I'm not certain
  82. >>about this.  This is related to Zeleny's question about whether one
  83. >>can state the principle of ontological commitment.
  84. >
  85. >My question was whether I could (a) quantify over quantifiers, and
  86. >(b) restrict my quantifiers by using any meaningful predicate I choose.
  87. >
  88. >If I can, then I essentially have Separation for quantifiers.
  89. >
  90. >I will explain shortly (but maybe not terribly clearly).
  91. >
  92. >>>Can I meaningfully say, "Some quantifiers have themselves in their
  93. >>range."?
  94. >>
  95. >>Eh?  A quantifier is a syntactical device (a character string or a
  96. >>Godel number); it falls in the range of lots of quantifiers.
  97. >
  98. >So, I suppose the answer is "Yes."
  99. >
  100. >>>I won't insult you by leading you down such an obvious path. You can
  101. >>>see better than I can where this is going.
  102. >>
  103. >>As I said, I'm not certain.
  104. >
  105. >Ok, here goes.
  106. >
  107. >Quantifier Separation:
  108. >For any meaningful quantifier, Q, and any meaningful open formula, F,
  109. >there is another meaningful quantifier, Q*, such that Q* ranges
  110. >over all and only those things x such that (Q ranges over x AND
  111. >x satisfies F).
  112. >
  113. >Quantifier Universality:
  114. >There is an unrestricted quantifier, one which ranges over everything.
  115. >
  116. >These two seem to be inconsistent.
  117. >Let F be the formula "__does not range over itself." Let Q be the
  118. >Unrestricted Quantifier. Then Q* (from Quantifier Separation)
  119. >is a quantifier that ranges over all and only those things that
  120. >do not range over themselves. But this is impossible, since
  121. >Q* would then range over itself iff it did not.
  122. >
  123. >Let me guess.
  124. >Stratification, right? For quantifiers?
  125. >
  126. >Jamie
  127.  
  128. Restricted quantifiers, in ZFC or NF, are nothing more than formulae
  129. with one free variable; (for all x in range Q)(P) means nothing more
  130. than (for _all_ x)(if "Q holds of x" then P).  There is no other way
  131. of introducing restricted quantifiers in either theory.
  132.  
  133. Not stratification, since the universal quantifier exists in ZFC, too.
  134. Your principle of Quantifier Separation is no problem.  Your
  135. quantifiers might as well be "formulae with one free variable" (in the
  136. language of ZFC + constants for every object, for the sake of
  137. argument): your principle of quantifier separation is then seen to
  138. assert that for each formula Q and formula F, there is a formula Q*
  139. satisfied by exactly those x such that x satisfies Q and x satisfies
  140. F.  This is true: the formula is "Q and F".  But your purported
  141. formula "x does not range over x" is not a formula, because it
  142. translates to "formula x does not satisfy formula x", and the notion
  143. of satisfaction cannot be expressed by any formula.  Your argument is
  144. just flat wrong.
  145.  
  146. Give it up:  universal quantification is _not_ paradoxical.
  147.  
  148.  
  149.  
  150.  
  151. -- 
  152. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  153. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  154. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  155. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  156.