home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / research / 618 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-23  |  2.5 KB  |  88 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!dan
  3. From: bs@gauss.mitre.org (Robert D. Silverman)
  4. Subject: Variational Problem
  5. Message-ID: <1992Dec23.171131.207@linus.mitre.org>
  6. Originator: dan@symcom.math.uiuc.edu
  7. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  8. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  9. Organization: Research Computer Facility, MITRE Corporation, Bedford, MA
  10. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  11. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  12. Date: Wed, 23 Dec 1992 17:11:31 GMT
  13. Lines: 73
  14.  
  15. It seems these days that calculus of variations is a lost art. I have
  16. talked to a number of top-flight mathematicians about the following
  17. problem and none of them could help in solving it. (I can't solve it
  18. either). Can anyone help?
  19.  
  20. Let  L(x) be an unknown function, let u be a parameter to be optimized,
  21. let F be an known integer, and let P(a,b) be a known (but messy!) function.
  22.  
  23. Find L(x) and u to minimize
  24.  
  25.     u
  26.        ---
  27.        \
  28.     \   L(b)
  29.     /
  30.        /
  31.        ---
  32.        b=1
  33.  
  34. subject to:
  35.  
  36.  
  37.     u    L(b)
  38.        ---     -----
  39.        \       \
  40.     \       \       P(a,b)   >= F
  41.     /       /
  42.        /       /
  43.        ---     -----
  44.        b=1    a= -L(b)
  45.  
  46. I know how to compute P(a,b), but dealing with it analytically is
  47. intractable. It is the product of two Dickman's rho functions.
  48.  
  49. Can anyone help? How do I solve the above problem?
  50.  
  51. Notes:
  52.  
  53. (1) One can, of course, turn the above discrete problem into a continuous
  54.     one by changing the sums into Stieltje's integrals.
  55.  
  56. (2) P(a,b) is as follows:
  57.  
  58. Let rho(t) be Dickman's rho function, given by the differential-delay
  59. equation   t rho'(t) = rho(t-1).  Let FB and M be integers.  Then, P(a,b) is:
  60.  
  61. mu(a,b) mu'(a,b)
  62.  
  63. where
  64.  
  65. mu(a,b) = integral from  beta-alpha to beta-1 of  rho(t)/(beta-alpha) dt
  66.  
  67. where  alpha = log(FB)/log(a + bM)
  68.        beta = 2*alpha
  69.  
  70. mu'(a,b) = integral from beta'-alpha' to beta'-1 of rho(t)/(beta'-alpha') dt
  71.  
  72. where    alpha' = log(FB)/log(a^d - k b^d)      d,k known
  73.     beta' = 2 alpha'
  74.  
  75. mu and mu' are respectively the probability that a+bM  and a^d-kb^d factor
  76. into the product of primes up to FB, with possibly a single additional factor
  77. between FB and FB^2.
  78.  
  79. Basically what is happening is that we want to find a function bounding an
  80. area so as to minimize that area, subject to a (joint) density function 
  81. over that area summing to at least F.
  82. --
  83. Bob Silverman
  84. These are my opinions and not MITRE's.
  85. Mitre Corporation, Bedford, MA 01730
  86. "You can lead a horse's ass to knowledge, but you can't make him think"
  87.  
  88.