home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / research / 617 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-22  |  2.2 KB  |  55 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!dan
  3. From: burchard@horizon.math.utah.edu (Paul Burchard)
  4. Subject: Re:  Critical Points of Gaussian Curvature
  5. References: <1992Dec22.004910.20943@nas.nasa.gov>
  6. Nntp-Posting-Host: dialup-slip-1-10.gw.umn.edu
  7. Message-ID: <1992Dec22.094710.2017@news2.cis.umn.edu>
  8. Originator: dan@symcom.math.uiuc.edu
  9. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  10. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  11. Organization: University of Minnesota
  12. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  13. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  14. Date: Tue, 22 Dec 1992 09:47:10 GMT
  15. Lines: 38
  16.  
  17. In article <1992Dec22.004910.20943@nas.nasa.gov> asimov@nas.nasa.gov (Daniel A.  
  18. Asimov) writes:
  19. > QUESTION:
  20. >     Is there some generalization of the Four-Vertex Theorem for the 
  21. >     Gaussian curvature of such hypersurfaces in R^(n+1) ?
  22. > 
  23. >     Intuitively, if M were a non-degenerate ellipsoid, it would apparently
  24. >     have 2n critical points of its Gaussian curvature K: M -> R.  So, is 
  25. >     there evidence for or against the possibility that
  26. > 
  27. >         The Gaussian curvature K: M -> R of an 
  28. >         arbitrary smooth hypersurface 
  29. >         M^n in R^(n+1) must have at least 2n critical points.
  30. >     ?
  31. > 
  32. >     Possible cases to consider:    a)    M is convex 
  33. >                     b)    M is topologically S^n 
  34. >                     c)    M is arbitrary.
  35. > 
  36. [The ellipsoid would have 2(n+1) critical points...I am responding to that
  37. conjecture here.] 
  38.  
  39. I proposed this same problem (in the case of topological spheres) to the crew
  40. here at the Geometry Center.  Ken Brakke found a very neat and simple
  41. counterexample, namely a BANANA!  This has only four critical points.  By
  42. slightly "banana-izing" a sphere, you can also get convex counterexamples
  43. with just four critical points.
  44.  
  45. Still, I would expect that the minimum number of critical points for the
  46. curvature will always be greater than the trivial minimum of 2.
  47.  
  48. P.S. Ken won $10 for his ingenuity...
  49. --
  50. --------------------------------------------------------------------
  51. Paul Burchard    <burchard@geom.umn.edu>
  52. ``I'm still learning how to count backwards from infinity...''
  53. --------------------------------------------------------------------
  54.  
  55.