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Text File  |  1992-12-22  |  1.8 KB  |  54 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!think.com!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!dan
  3. From: asimov@nas.nasa.gov (Daniel A. Asimov)
  4. Subject:  Critical Points of Gaussian Curvature
  5. Message-ID: <1992Dec22.004910.20943@nas.nasa.gov>
  6. Originator: dan@symcom.math.uiuc.edu
  7. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  8. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  9. Organization: NAS, NASA Ames Research Center, Moffett Field, California
  10. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  11. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  12. Date: Tue, 22 Dec 1992 00:49:10 GMT
  13. Lines: 39
  14.  
  15. The Four-Vertex Theorem states that the curvature function on a smooth 
  16. simple closed curve in the plane has at least 4 critical points.
  17.  
  18. Now consider a closed hypersurface M^n smoothly embedded in R^(n+1). 
  19.  
  20. Let "Gaussian curvature" K denote the determinant of the Jacobian of the
  21. Gauss map G: M -> S^n (obtained by setting G(x) =  the outward unit normal 
  22. to M at x).
  23.  
  24. QUESTION:
  25.     Is there some generalization of the Four-Vertex Theorem for the 
  26.     Gaussian curvature of such hypersurfaces in R^(n+1) ?
  27.  
  28.     Intuitively, if M were a non-degenerate ellipsoid, it would apparently
  29.     have 2n critical points of its Gaussian curvature K: M -> R.  So, is 
  30.     there evidence for or against the possibility that
  31.  
  32.         The Gaussian curvature K: M -> R of an 
  33.         arbitrary smooth hypersurface 
  34.         M^n in R^(n+1) must have at least 2n critical points.
  35.     ?
  36.  
  37.     Possible cases to consider:    a)    M is convex 
  38.                     b)    M is topologically S^n 
  39.                     c)    M is arbitrary.
  40.  
  41.  
  42. Dan Asimov
  43. Mail Stop T045-1
  44. NASA Ames Research Center
  45. Moffett Field, CA 94035-1000
  46.  
  47. asimov@nas.nasa.gov
  48. (415) 604-4799
  49.  
  50. P.S.  To avoid questions of differentiability I have assumed that everything
  51. in sight is smooth, although a finite number of derivatives would almost
  52. certainly suffice.
  53.  
  54.