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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17527 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-30  |  4.1 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17527 sci.physics:21920
  2. Path: sparky!uunet!paladin.american.edu!gatech!destroyer!cs.ubc.ca!unixg.ubc.ca!unixg.ubc.ca!israel
  3. From: israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  5. Subject: Re: Bayes' theorem and QM
  6. Date: 30 Dec 92 22:32:04 GMT
  7. Organization: The University of British Columbia
  8. Lines: 83
  9. Message-ID: <israel.725754724@unixg.ubc.ca>
  10. References: <1992Dec24.101452.16194@oracorp.com> <1ht1arINNf8a@chnews.intel.com>
  11. NNTP-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  12.  
  13. In <1ht1arINNf8a@chnews.intel.com> bhoughto@sedona.intel.com (Blair P. Houghton) writes:
  14.  
  15. >In article <1992Dec24.101452.16194@oracorp.com> daryl@oracorp.com (Daryl McCullough) writes:
  16. >>It would be nice if the volume of a region of space were always
  17. >>well-defined, but it is not. A demonstration due to Banach and Tarski
  18. >>showed that it is possible (mathematically, rather than physically
  19. >>possible) to decompose a sphere into a finite number of pieces and
  20. >>then recombine them by rotations and translations to get two complete
  21. >>spheres. It is easy to see that these pieces cannot possibly have
  22. >>volumes, since that would lead to the conclusion that the volume of
  23. >>two spheres equals the volume of one sphere.
  24. >>
  25. >>So one cannot always assume that *every* set has a measure (or volume,
  26. >>or probability).
  27.  
  28. >I'll buy the explanation (conditioned on the conjecture
  29. >that such a situation might exist, which as yet isn't
  30. >anything more than conjecture), but not the example.
  31.  
  32. I'm jumping in here without seeing McCullough's article, so I don't know
  33. what you're calling "explanation", "conjecture", "situation" and "example".
  34. But what Banach and Tarski have is a theorem.  If you don't buy it, you
  35. don't buy the Axiom of Choice.
  36.  
  37. >The two spheres thus formed do indeed have the same volume
  38. >sum as the original sphere, but each has less volume than
  39. >the original, or else they weren't composed of a finite
  40. >number of pieces[*], or else when constructed they contained
  41. >gaps, internally.
  42.  
  43. The pieces are _very_ strange sets.  But they fit together perfectly,
  44. without gaps.  The spheres are solid.
  45.  
  46. >That, or their "volume" is fractal, being the effective
  47. >volume of a convoluted surface, and therefore isn't
  48. >actually of order 3 but of some order less than 3 and
  49. >greater than 2. 
  50.  
  51. The pieces are much stranger than fractals.  They (or at least
  52. some of them) are non-measurable sets.  Impossible to really
  53. visualize, but think of dense "clouds" of points.
  54.  
  55. >                 This way you get a finite number of pieces
  56. >but some pieces are composed of an infinite number of
  57. >infinitesimal objects connected by infinitesimal objects,
  58. >e.g. concentric spheres of rational diameters connected
  59. >by a single diameter, leaving concentric spheres of
  60. >irrational diameters connected by a single chord displaced
  61. >from the diameter by an irrational, infinitesimal amount (i.e.,
  62. >tangent to the smallest spherical shell of irrational diameter).
  63.  
  64. "Irrational, infinitesimal"? No such animal.  We're dealing with
  65. real numbers here.
  66.  
  67. >And it might even be "possible" physically; imagine a large
  68. >crystal of NaCl carved to be spherical.  Now separate
  69. >disintegrate it so that you have two spheres, one only of
  70. >Na+ ions and one only of Cl- ions, with each ion in its
  71. >original position wrt the center of mass of its own kind.
  72. >Their masses are each now less than the original, but their
  73. >"volumes" are each at least as large (likely larger and
  74. >expanding at a fantastic rate, unless you do something
  75. >interesting like containing them inside inert, solid shells
  76. >for the purpose of argument).
  77.  
  78. >But that's beside the point.
  79.  
  80. The construction is extremely non-physical.  It is talking about
  81. mathematical spheres, composed of mathematical points.  Collections
  82. of atoms are something else entirely.
  83.  
  84. >Are there any constraints on the mathematics of "quantum
  85. >probabilities" that are similar to Sigma algebras for
  86. >"classical probabilities?"
  87.  
  88. >                --Blair
  89. >                  "Beside the point is of
  90. >                   course another point."
  91. -- 
  92. Robert Israel                            israel@math.ubc.ca
  93. Department of Mathematics             or israel@unixg.ubc.ca
  94. University of British Columbia
  95. Vancouver, BC, Canada V6T 1Y4
  96.