home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / comp / speech / 386 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-01  |  4.3 KB  |  117 lines
  1. Newsgroups: comp.speech
  2. Path: sparky!uunet!spool.mu.edu!umn.edu!lynx!nmsu.edu!opus!ted
  3. From: ted@nmsu.edu (Ted Dunning)
  4. Subject: Re: Fundamental Frequencies of the Musical Notes
  5. In-Reply-To: ted@nmsu.edu's message of Fri, 1 Jan 1993 20:47:23 GMT
  6. Message-ID: <TED.93Jan1173824@lole.nmsu.edu>
  7. Sender: usenet@nmsu.edu
  8. Reply-To: ted@nmsu.edu
  9. Organization: Computing Research Lab
  10. References: <1993Jan1.105401.46023@kuhub.cc.ukans.edu> <TED.93Jan1134723@lole.nmsu.edu>
  11. Date: Sat, 2 Jan 1993 00:38:24 GMT
  12. Lines: 103
  13.  
  14.  
  15.  
  16. i got a question on my last posting and reckon that my answer will be
  17. of rather general interest.  i am sure that there are quite a number
  18. of people out there who can correct me in the places that i go wrong.
  19. please feel free to do so, if you know better than i.
  20.  
  21.  
  22.  
  23. To: williamb%ee.ubc.ca
  24. In-reply-to: william burchill's message of Fri, 1 Jan 93 15:56:15 -0800 <9301012356.AA11807@fs0.ee.ubc.ca>
  25. Subject: Fundamental Frequencies of the Musical Notes
  26. Reply-to: ted@nmsu.edu
  27. --text follows this line--
  28.  
  29. >   Could you tell me, is there agreement on the absoulute frequencies?
  30.  
  31. 440 A and 256 C define slightly different scales that are used in
  32. slightly different situations.  i think that most pianos are usually tuned
  33. with 256 = C, while orchestras (in my limited experience) invariably
  34. use 440 = A
  35.  
  36. >   Also, what is a "well tempered scale" and where can I read more on
  37. >   this subject?
  38.  
  39. originally, scales were defined by going around the `circle of fifths'
  40. (or the essentially equivalent circle of fourths).  this is done by
  41. going up a perfect fifth from your base note (let's pick middle C).  a
  42. perfect fifth is a factor of 1.5 in frequency and corresponds to 7
  43. semi-tones.  from C, this takes us to G which would thus have a
  44. frequency of 1.5 * 256 = 384 hertz.  doing this repeatedly gives us
  45. the following frequencies:
  46.  
  47. tone    reduced    freq    note    
  48. 0    0    256    C
  49. 7    7    384.0    G
  50. 14    2    288.00    D
  51. 21    9    432.00    A
  52. 28    4    324.00    E
  53. 35    11    486.00    B
  54. 42    6    364.50    F+
  55. 49    1    273.37    C+
  56. 56    8    410.06    G+
  57. 63    3    307.54    D+
  58. 70    10    461.32    A+
  59. 77    5    345.99    F
  60. 84    0    518.98    C
  61.  
  62. sorting this by frequency gives us
  63.  
  64. tone    reduced    freq    ratio    note    
  65. 0    0    256        C
  66. 49    1    273.37    1.067    C#
  67. 14    2    288.00    1.053    D
  68. 63    3    307.54    1.067    D#
  69. 28    4    324.00    1.053    E
  70. 77    5    345.99    1.067    F
  71. 42    6    364.50    1.053    F#
  72. 7    7    384.0    1.053    G
  73. 56    8    410.06    1.067    G#
  74. 21    9    432.00    1.053    A
  75. 70    10    461.32    1.067    A#
  76. 35    11    486.00    1.053    B
  77. 84    0    518.98    1.067    C
  78.  
  79. there are several problems with this.  first, C an octave up isn't
  80. right (it is 1.4% off, which is plenty enough to sound terrible).
  81. secondly, chords other than the fifths used to construct the scale
  82. sound off.  for example F# and the C above middle C have a frequency
  83. ratio of 1.42 instead of the desired 1.5 (and if we use 512Hz instead
  84. of 519Hz the ratio is 1.40 instead).  this error is absolutely gross
  85. if you actually hear it.
  86.  
  87. to avoid this, many different tunings were developed other than the
  88. one based on perfect fifths or fourths and great efforts were made to
  89. avoid using the intervals that sounded bad in each tuning.  with
  90. plucked or bowed string instruments, this problem isn't too terribly
  91. bad since the natural, good-sounding chords are also the natural
  92. fingerings for the most part.
  93.  
  94. just this problem of tuning was exactly the source of a profound
  95. problem in pythagorean philosophy which was based entirely on the
  96. apparent fact that various harmonious ratios seemed universal.
  97. ultimately, it turned out that these ratios weren't all they were
  98. cracked up to be, and irrationals had to be developed.
  99.  
  100. finally, bach popularized what he called `well tempered tuning'.  i
  101. don't know the latin or german original phrase, but i am pretty sure
  102. that bach didn't actually invent the tuning, but was merely the most
  103. prominent composer to write prolifically for it.  this tuning allows
  104. much greater flexibility in making chords by spreading out the errors
  105. which occur in a natural tuning at the cost of making all the
  106. pythagorean intervals such as fourths and fifths sound every so
  107. slightly off.
  108.  
  109. this adjustment can be done numerically as was illustrated in my
  110. previous posting.  i think that in practice, some slight adjustments
  111. are still made so that common chords sounds slightly better than
  112. others.  i know for certain that many synthetic music sources make
  113. adjustments to the well tempered scale because there are limitations
  114. on the frequencies which can be generated easily by frequency
  115. division.
  116.  
  117.