home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 19371 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-21  |  4.3 KB  |  94 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Taylor-Laurent series
  5. Message-ID: <1992Nov22.001847.5682@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <1992Nov20.190744.6915@meteor.wisc.edu> <1992Nov20.230233.18271@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> <abian.722318103@pv343f.vincent.iastate.edu>
  9. Date: Sun, 22 Nov 1992 00:18:47 GMT
  10. Lines: 82
  11.  
  12. In article <abian.722318103@pv343f.vincent.iastate.edu> abian@iastate.edu (Alexander Abian) writes:
  13. >
  14. >Dear Mr. Pratt:                 11-20-92
  15. >
  16. >You write:
  17. >
  18. >> Now that I look again I don't see how it
  19. >>follows that this sum of singularities need be a singularity.  Unless
  20. >>Abian can demonstrate this, I would say *that* was a real flaw in
  21. >>his argument.  Mr. Abian?
  22. >
  23. >   I have given the demonstration (see the unabridged version that I think
  24. >I specially posted for you). Now, you are asking for more details, e.g. that
  25. >I have to prove that long division in descending powers gives the Laurent
  26. >expansion.  I can give that proof (and in my proof no use of FTA is made).
  27. >But then you may ask me for the proof of something else, and so on.
  28.  
  29. No, it's simpler than that, I just have one question so small and easy
  30. you should have no objection to answering it directly in this forum.
  31.  
  32. Your argument mentions a series differing from
  33.  
  34.     1/z + 1/z^2 + 1/z^3 + ...
  35.  
  36. only in its choice of coefficients.  You then ask us to infer that this
  37. is the series of a function with an essential singularity at z=0.
  38.  
  39. My question is, why should this sum have any singularity at all at z=0?
  40.  
  41. To illustrate my question, consider the function 1/(z-1), which
  42. certainly has no singularity at z=0.  Now factor it as 1/z * 1/(1-1/z),
  43. expand the second factor as 1 + 1/z + 1/z^2 + ..., and multiply by the
  44. first factor to arrive at
  45.  
  46.     1/z + 1/z^2 + 1/z^3 + ...
  47.  
  48. The logic you use in your argument would appear to assign to this sum
  49. an essential singularity at z=0.   Yet we have just seen that the sum
  50. is in fact -1.  For additional confirmation, setting z=1/2 makes this
  51. sum in binary ...1111110, which as any computer programmer can see at a
  52. glance is two's-complement for -2, in agreement with 1/(1/2 - 1).  A
  53. little algebra shows that setting z=1/p makes ...111110, interpreted in
  54. radix p, equal to -p/(p-1), which as p tends to infinity tends to -1.
  55. (This is a tiny part of the fascinating theory of p-adic numbers.)
  56.  
  57. >   On the other hand,  if you are accepting my wager ...
  58.  
  59. It is undignified for the myopic to bet with each other on a horse race
  60. after it is over.
  61.  
  62. Your example of calculating the Taylor-Laurent series for "-3z+2+z^2"
  63. was extremely nice.  Can anyone supply the names of those symbolic
  64. algebra systems that can perform Taylor-Laurent expansions in regions
  65. other than those connected to infinity?  If I understand my 1988
  66. Mathematica manual correctly, the closest Mathematica can come to this
  67. is to permit expansion about infinity, which presumably will not allow
  68. one to use Mathematica to obtain the nice expansion Abian has given us
  69. in the annulus 1 < |z| < 2.
  70.  
  71. Taylor series were understood by Gregory (forty years before Taylor) in
  72. the 17th century, and perhaps by the Indians (East) in the 16th
  73. century.  I don't know who Laurent is (can someone please supply this
  74. information?  I couldn't find it in any of my usual sources), but
  75. presumably the Taylor-Laurent series was well in hand by the 19th
  76. century.
  77.  
  78. This prompts the following very interesting question.  Which of today's
  79. symbolic algebra systems have made it into the 19th century?
  80.  
  81. Mr. Abian's evident facility with the tricky computations of Laurent
  82. series in annuli lying between singularities would suggest the obvious
  83. strategy for any proprietor of such a system wanting to bring it that
  84. much more up to date.  But stock up on the Kleenex, one close encounter
  85. with dbxtool should be the lachrymal equivalent of Tammy Baker reading
  86. Love Story.
  87.  
  88. I understand Newton became something of a crackpot in later life.  If
  89. TIME HAS INERTIA and Newton were alive today and battier than ever, I'm
  90. sure Wolfram RI or Soft Warehouse would still jump at the opportunity
  91. to number him among their consultants.
  92. -- 
  93. Vaughan Pratt              A fallacy is worth a thousand steps.
  94.