home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 18966 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-16  |  2.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!think.com!news!columbus
  2. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  3. Newsgroups: sci.physics
  4. Subject: Lowneheim-Skolem theorem (was: Continuos vs. discrete models)
  5. Date: 16 Nov 92 10:59:41
  6. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  7. Lines: 42
  8. Message-ID: <COLUMBUS.92Nov16105941@strident.think.com>
  9. References: <1992Nov7.214329.24552@galois.mit.edu>
  10.     <1992Nov13.194334.20447@sun0.urz.uni-heidelberg.de> <350@mtnmath.UUCP>
  11. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  12. In-reply-to: paul@mtnmath.UUCP's message of 14 Nov 92 16:10:21 GMT
  13.  
  14. In an earlier post, Paul Budnik writes:
  15.  
  16.    For example the real numbers definable in any consistent formal system
  17.    are countable.
  18.  
  19. and in his last post, he explains what he meant:
  20.  
  21.    This well known result is called the Lowenheim and Skolem theorem. The
  22.    idea of the proof is that a formal system is a computer program for enumerating
  23.    theorems. The names of all real numbers created by such a program are
  24.    obviously countable. Of course the mapping of these real numbers to names is
  25.    not definable within the the formal system and thus these reals cannot be
  26.    shown to be countable within the system.
  27.  
  28. This is not the correct statement of the Loewenheim-Skolem theorem.  Here is
  29. one formulation (the so-called "downward" Loewenheim-Skolem theorem):
  30.  
  31.     Any model of a countable first-order theory has a countable elementary
  32.     submodel.  (By "countable theory", we mean one whose language is
  33.     countable.  "Elementary" means, roughly, that any assertion true of the
  34.     model is true also of the submodel.)
  35.  
  36. Budnik's statement about there being only a countable infinity of definable
  37. real numbers is correct, if by "definable" we mean "definable by a formula
  38. in a countable theory".  This fact is essentially trivial, since there are
  39. only a countable number of formulas in such a theory.
  40.  
  41. One has to be a bit cautious drawing philosophical conclusions from the
  42. Loewenheim-Skolem theorems.  (Or rather, one doesn't have to be, but angels
  43. fear to tread.)  Let me rush in anyway: say L is a countable first-order
  44. language rich enough to express "all of physics", as currently understood,
  45. and in particular includes enough of the theory of R (real numbers) for
  46. traditional QM, QED, GR, etc.  (L could be the language of ZFC, for
  47. example.)  Philosopher X objects to L, claiming that uncountable infinities
  48. do not really exist, and so demands that physics be reformulated on another
  49. basis.  Philosopher Y retorts that a mere distaste for the uncountable is
  50. no grounds for rejecting L, since we can make the same assertions and just
  51. interpret them as applying to an elementary countable submodel.
  52.  
  53. In short: there may be good reasons for radically changing the foundations
  54. of physics (and there may not-- pace, defenders of the status quo(ntum)!),
  55. but the Loewenheim-Skolem theorem is not one of them.
  56.