home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15398 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-23  |  1.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!uknet!pavo.csi.cam.ac.uk!emu.pmms.cam.ac.uk!rgep
  2. From: rgep@emu.pmms.cam.ac.uk (Richard Pinch)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Help with Algebraic Number Theory
  5. Keywords: hilbert algebraic number
  6. Message-ID: <1992Nov23.120715.12903@infodev.cam.ac.uk>
  7. Date: 23 Nov 92 12:07:15 GMT
  8. References: <1epji1INN66u@manuel.anu.edu.au>
  9. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  10. Organization: Department of Pure Mathematics, University of Cambridge
  11. Lines: 21
  12. Nntp-Posting-Host: emu.pmms.cam.ac.uk
  13.  
  14. In article <1epji1INN66u@manuel.anu.edu.au> molrchon@mehta.anu.edu.au writes:
  15. >[...]
  16. >The second problem I have is much more minor, but I can't for the life of me
  17. >see how it.  Suppose J is some number field, and x \in O(J).  Then the claim
  18. >is that:
  19. >
  20. >      x != 0  <==>  (\exist v, y \in O(J))[xy = (2v-1)(3v-1)]
  21. >
  22. >It apparently follows from the Chinese Remainder Theorem, but I can't see the
  23. >trick.  No doubt it is embarassingly easy.
  24. >molrchon@mehta.anu.edu.au
  25.  
  26. Write the ideal (x) as A_1 A_2 A_3 where A_1 is the product of the prime
  27. power ideals not dividing 6, and A_2 resp A_3 is the product of the prime 
  28. power ideals dividing 2 resp 3.  Solve 2V_3 == 1 mod P_3; 3V_2 == 1 mod P_2 
  29. and (say) 2V_1 == 1 mod P_1.  Each is soluble since 2 is a unit mod P_3, 
  30. 3 is a unit mod P_2 and both 2 and 3 are units mod P_1.  By the CRT, find 
  31. v == v_i mod P_i.  Then (2v_i)-1)(3v_i-1) == 0 mod P_i for i=1,2,3,and so 
  32. (2v-1)(3v-1) == 0 mod (x). 
  33.  
  34. Richard Pinch
  35.