home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15399 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-23  |  2.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!spool.mu.edu!sdd.hp.com!cs.utexas.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!not-for-mail
  2. From: edgar@function.mps.ohio-state.edu (Gerald Edgar)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: closed forms
  5. Date: 23 Nov 1992 07:56:50 -0500
  6. Organization: The Ohio State University, Dept. of Math.
  7. Lines: 36
  8. Message-ID: <1eqkeiINN9p5@function.mps.ohio-state.edu>
  9. References: <92324.223138YUKQC@CUNYVM.BITNET> <1992Nov22.100111.42575@urz.unibas.ch>
  10. NNTP-Posting-Host: function.mps.ohio-state.edu
  11.  
  12. In article <1992Nov22.100111.42575@urz.unibas.ch> kullmann@urz.unibas.ch writes:
  13. >Another question that could belong here: How does one proof that there is
  14. >no closed form expression of \int(exp(-x**2))? 
  15.  
  16. This is a result of Liouville.  More generally, he proved:
  17.  
  18.   THEOREM:  Let g and y be algebraic functions of x, with g nonconstant.
  19.   If integral exp(g) y dx is an elementary function of x, then it has
  20.   the form  exp(g) w + C, where w is a rational function of x, y, and g.
  21.  
  22. A function is "elementary" if it is obtained from algebraic operations,
  23. trig and inverse trig functions, exponential and logarithmic functions,
  24. or combinations of these (including composition and inverse function).
  25. (There is a more technical definition...)
  26.  
  27. Examples of the application of the theorem are:
  28.   integral exp(-x^2) dx is not elementary
  29.   integral exp(x)/x dx is not elementary
  30.   integral dx/log x  is not elementary.
  31.  
  32. A book on this classical theory is:  _Integration in Finite Terms_
  33. by J. F. Ritt (1948).  The background required is complex analysis.
  34. There are also some more recent books, which take a more algebraic
  35. approach, but I do not have those references handy.
  36.  
  37.  
  38. Note.  Derivation of the fact that integral exp(-x^2) dx = exp(-x^2) w + C
  39. for rational function w is impossible:  First, w must satisfy the
  40. differential equation  w' - 2x = 1.  Deduce that w has no (finite) poles, so
  41. w is a polynomial.  Obtain a contradiction by comparing the degrees of
  42. polynomials.
  43. -- 
  44.   Gerald A. Edgar                Internet:  edgar@mps.ohio-state.edu
  45.   Department of Mathematics      Bitnet:    EDGAR@OHSTPY
  46.   The Ohio State University      telephone: 614-292-0395 (Office)
  47.   Columbus, OH 43210             -292-4975 (Math. Dept.) -292-1479 (Dept. Fax)
  48.