home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15385 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-22  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!munnari.oz.au!manuel.anu.edu.au!newshost!werner
  2. From: werner@pell.anu.edu.au (Werner Nickel)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: A Question About Fundamental Group
  5. Date: 23 Nov 92 12:52:36
  6. Organization: Australian National University
  7. Lines: 32
  8. Message-ID: <WERNER.92Nov23125236@lamb.anu.edu.au>
  9. References: <amirishs.722059588@acf9> <18NOV199209581321@mary.fordham.edu>
  10.     <arvola.722107812@sol>
  11. NNTP-Posting-Host: 150.203.15.67
  12. In-reply-to: arvola@sol.acs.unt.edu's message of Wed, 18 Nov 1992 17:30:12 GMT
  13.  
  14. arvola@sol.acs.unt.edu (Arvola William) writes:
  15.  
  16.    >>Consider a bunch of infinitely many (countable) circles with a
  17.    >>point in common. The radii of these circles make a sequence like
  18.    >>{1/n}. What is the fundamental group of this space? Any comments
  19.    >>or referenc would be so helpful!
  20.  
  21.    >Sometimes known as the "Hawaiian earing space".
  22.    >Its fundamental group has coutably many generators (one for each circle)
  23.    >and no relations.  (I.e., it is a free non-Abelian group on countably 
  24.    >many generators.)  
  25.  
  26.    I don't think that it is as simple as this.  Take, for example,
  27.    a loop running around a subcollection of the circles whose radii
  28.    converge like the sequence {1/2^n}.  Since this (sub)sequence is
  29.    summable this loop represents an element of the fund group which
  30.    is not a finite product of the generators that were proposed.
  31.  
  32. The fundamental group of the Hawaiian earring can be described as follows.
  33. Number the circles by the natural numbers and let p_i be a single
  34. loop around circle number i. Then all closed paths are (possibly
  35. infinite) products of the p_i and their inverses. The only (obvious)
  36. restriction is that each loop p_i (or its inverse) occurs only a finite
  37. number of times in a product.
  38. One way to describe this in a precise algebraic way is to construct the
  39. fundamental group of the Hawaiian earring as a subgroup of an inverse limit
  40. of the free group on n generators with n going to infinity. The details
  41. are spelled out in the paper I quoted earlier in this newsgroup.
  42.  
  43. Werner Nickel
  44. Mathematics Research Section
  45. Australian National University
  46.