home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15383 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-22  |  2.1 KB  |  44 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: exp(pi*sqrt(x))
  5. Message-ID: <1992Nov23.001203.20604@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <1992Nov22.124131.17689@husc15.harvard.edu>
  9. Date: Mon, 23 Nov 1992 00:12:03 GMT
  10. Lines: 32
  11.  
  12. In article <1992Nov22.124131.17689@husc15.harvard.edu> blom@husc15.harvard.edu writes:
  13. >Aitken once remarked that exp(pi*sqrt(163)) differs from an integer by
  14. >less than 10^-12.  Why and when does exp(pi*sqrt(x)) approximate an integer?
  15.  
  16. Q(sqrt(-163)) (the field of rationals extended to complex quadratic
  17. field with sqrt(-163)) is a unique factorization domain ("class number
  18. 1").  The 9 numbers that work here are 1 2 3 7 11 19 43 67 163, the
  19. larger ones work much better for getting good integer approximations
  20. this way.
  21.  
  22. Though these 9 were part of a case of a conjecture due to Gauss, it was
  23. discovered only in 1933 that there were no others in the range -164 to
  24. -5e9.  In 1934 it was shown that there was no 11th number---at most one
  25. remained to be discovered.  By 1966 the -5e9 bound had been improved to
  26. -1e(9e6) (10 to the 9 million), i.e. if there was a tenth it was below
  27. that limit.  In 1966 H. Stark and A. Baker independently ruled out the
  28. possibility of a tenth altogether.  [Source: Harold Stark's "Intro to
  29. Number Theory", p.295]
  30.  
  31.  
  32. Problem: characterize those powers of exp(pi*sqrt(163)/3) that
  33. approximate an integer (to better than .1% say).  Why is it about half
  34. of the first 24, and seemingly none of the rest (except for the
  35. necessary one in a thousand due to the .1% tolerance)?
  36.  
  37. If you want a very convenient way to play around with these numbers
  38. interactively, and have a Sun-4, a binary of Hans Boehm's
  39. infinite-precision calculator can be found on boole.stanford.edu as
  40. /pub/calc.  To get the base power, start it and type 163rp*3/x to get
  41. 640320.00000000060486373504901603947174181881853947577148576036659181946522182
  42. -- 
  43. Vaughan Pratt              A fallacy is worth a thousand steps.
  44.