home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15382 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-22  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!usc!news!nic.cerf.net!jcbhrb
  2. From: jcbhrb@nic.cerf.net (Jacob Hirbawi)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Looking for name of group of order 12...
  5. Message-ID: <3796@news.cerf.net>
  6. Date: 22 Nov 92 23:54:15 GMT
  7. Sender: news@news.cerf.net
  8. Organization: CERFnet
  9. Lines: 40
  10. Nntp-Posting-Host: nic.cerf.net
  11.  
  12. In <a_rubin.722193951@dn66> a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin) writes:
  13.  
  14. > In <1992Nov18.194440.4819@tamsun.tamu.edu> rlm7638@tamsun.tamu.edu (Jack McKinney) writes:
  15. > >     Here I go, with yet another group theory question. This one is of
  16. > >etymology. There are five groups of order 12: The cyclic group of order
  17. > >12 (Z_12), the direct product of the cyclic groups of orders 2 and 6
  18. > >(Z_2 x Z_6), The alternating group on 4 objects (A_4), the dihedral
  19. > >group of a 6-sided object (D_6), and then one more. This last one
  20. > >I have always seen written as just 'T'. Can anyone tell me where this
  21. > >name comes from?
  22. > >           T={<a,b>: a^6=e, a^3=b^2, ba=a^5 b}
  23.  
  24. > I've never seen "T", but it is also [Z_3]Z_4;
  25. > {<a,b>: a^3=b^4=e, ba=a^2 b}
  26. > Z_12        = Z_4 x Z_3
  27. > Z_2 x Z_6   = K_4 x Z_3  (K_4 = Z_2 x Z_2))
  28. > D_6         = S_3 x Z_2 = [Z_3]Z_2 x Z_2
  29. > A_4         = [K_4]Z_3
  30. > "T"         = [Z_3]Z_4
  31.  
  32. Actually I've seen "T" being used for A_4 -- the group of rotations that leave
  33. a "T"etrahedron invariant. The fifth group in question I usually think of as
  34. a "generalized quaternion" group; I think Coxeter and Moser also use the term
  35. "dicyclic" group. The definition of these groups is given by:
  36.  
  37.   Q_n = <n,2,2> = {<a,b>, a^n = b^2 = (ab)^2 = c, c^2 = 1}
  38.  
  39. The order of the group is 4n (Q_1=C_4, Q_2= ordinary quaternions,Q_3 the
  40. fifth group of order 12). These groups are very close to the dihedral groups:
  41.  
  42.   D_n = (n,2,2) = {<a,b>, a^n = b^2 = (ab)^2 = c, c^1 = 1}
  43.  
  44. of order 2n. D_4 and Q_2 are also related in another way: they are both 
  45. extensions of the abelian group C_4 by C_2 through the same map from 
  46. C_2 to Aut(C_4). As such these two groups form a group. in this case 
  47. of order 2 with D_4 as the identity element. This probably generalizes 
  48. somehow to other members of the two families.
  49.  
  50. Jacob Hirbawi
  51. JcbHrb@CERF.net
  52.