home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / logic / 2132 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-21  |  2.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!mtnmath!paul
  2. From: paul@mtnmath.UUCP (Paul Budnik)
  3. Newsgroups: sci.logic
  4. Subject: Re: Lowneheim-Skolem theorem
  5. Message-ID: <367@mtnmath.UUCP>
  6. Date: 21 Nov 92 16:08:41 GMT
  7. References: <1992Nov17.124233.24312@oracorp.com> <1992Nov20.140159.4770@sun0.urz.uni-heidelberg.de>
  8. Organization: Mountain Math Software, P. O. Box 2124, Saratoga. CA 95070
  9. Lines: 45
  10.  
  11. In article <1992Nov20.140159.4770@sun0.urz.uni-heidelberg.de>, gsmith@lauren.iwr.uni-heidelberg.de (Gene W. Smith) writes:
  12. > In article <361@mtnmath.UUCP> paul@mtnmath.UUCP (Paul Budnik) writes:
  13. > 
  14. > >This would be a valid argument if uncountable had an absolute definition.
  15. > >I think uncountable is only meaningful relative to some formal system. 
  16. > 
  17. > "Uncountable" means no one-to-one relation with the integers
  18. > can be given.  This does not refer to a formal system.
  19.  
  20. Unless you have a formal system in which to determine what constitutes
  21. a one-to-one relationship you are not doing mathematics. You are doing
  22. philosophy. All mathematical proofs are derivable from within a formal
  23. system even if the proof is given informally. 
  24.  
  25. > >There are plenty of examples of sets uncountable in one system that
  26. > >are countable in stronger systems.
  27. > 
  28. > If they are countable in the stronger system, that means that
  29. > a one-one map can be found in it, which means that these sets
  30. > are countable.
  31.  
  32. You believe that the real numbers have an absolute meaning. I do not.
  33. That is a philosophical difference between us that we will not resolve
  34. by argument. I do not think countable is meaningful except in the
  35. context of a formal system. You do. Everyone is entitled to his own
  36. opinion. You are not entitled to call your philosophical opinion mathematics
  37. even if many mathematicians hold the same opinion. Many but not all
  38. mathematicians agree with you, but most recognize that this is an
  39. issue of philosophy of mathematics.
  40.  
  41. > >The question of whether uncountable has an absolute definition is a
  42. > >philosophical one that I expect we have different opinions on.
  43. > 
  44. > I say "uncountable" means what mathematicians mean by it.  This is
  45. > more a linguistic question than a philosophical one.
  46.  
  47. Mathematics is what is done in the context of formal systems or can
  48. be formalized. Philosophy of mathematics involves the interpretation
  49. and meaning of those systems. When you talk about uncountable as having
  50. an absolute meaning you have gone beyond what can be formalized.
  51. Mathematicians can usually reach a consensus if a proof is valid in
  52. a particular formal system. They will *never* reach a consensus about
  53. what is the correct philosophy of mathematics.
  54.  
  55. Paul Budnik
  56.