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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / logic / 2119 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-20  |  2.4 KB  |  53 lines
  1. Newsgroups: sci.logic
  2. Path: sparky!uunet!pmafire!mica.inel.gov!guinness!garnet.idbsu.edu!holmes
  3. From: holmes@garnet.idbsu.edu (Randall Holmes)
  4. Subject: Re: recursive definitions and paradoxes
  5. Message-ID: <1992Nov20.155725.11719@guinness.idbsu.edu>
  6. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  7. Nntp-Posting-Host: garnet
  8. Organization: Boise State University
  9. References: <26788@optima.cs.arizona.edu> <1992Nov19.215048.26539@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  10. Date: Fri, 20 Nov 1992 15:57:25 GMT
  11. Lines: 40
  12.  
  13. In article <1992Nov19.215048.26539@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  14. >In article <26788@optima.cs.arizona.edu> gudeman@cs.arizona.edu (David Gudeman) writes:
  15. >>But consider the paradoxical definitions
  16. >>
  17. >>  S := {{},R}
  18. >>  R := {x E S : ~(x E x)}                                (8)
  19. >>
  20. >>where the definition of R has exactly the same form as the definition of
  21. >>Russell's paradoxical set (replacing S with the universal set).  But
  22. >>here, S is a set with only two elements!  Given such a clear example of
  23. >>Russell's paradox by quantifying over a finite set, I don't see how
  24. >>anyone can still claim that Russell's paradox is somehow caused by a
  25. >>universal set that is "too big".  Size has nothing to do with it, the
  26. >>only consideration is how it is defined.  Clearly in this example the
  27. >>problem is an ill-founded mutual recursion between the two set
  28. >>definitions.
  29. >
  30. >Russell's paradox denies the existence of the paradoxical set of all
  31. >sets.  Denial of an existential is a universal, and the universal
  32. >statement asserted by Russell's paradox is that every set has a
  33. >nonmember.  The universal set is "too big" by one element, having no
  34. >nonmember.  From that perspective size has everything to do with it.
  35. >-- 
  36. >Vaughan Pratt              A fallacy is worth a thousand steps.
  37.  
  38. This is inaccurate.  Russell's paradox proves nothing except that
  39. there is no set which has exactly the sets which are not elements of
  40. themselves as members.  If the Axiom of Separation is added to one's
  41. theory, the paradox has the consequence indicated.  In theories where
  42. the Axiom of Separation does not hold (like NFU) the paradox has
  43. different consequences.
  44.  
  45. Separation = for any set A and each formula P, {x E A | P} exists.
  46.  
  47.  
  48. -- 
  49. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  50. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  51. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  52. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  53.