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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / physics / 23252 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-21  |  2.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!dziuxsolim.rutgers.edu!ruhets.rutgers.edu!bweiner
  2. From: bweiner@ruhets.rutgers.edu (Benjamin Weiner)
  3. Newsgroups: sci.physics
  4. Subject: Re: Trouble understanding bra-ket notation
  5. Message-ID: <Jan.21.20.42.41.1993.24091@ruhets.rutgers.edu>
  6. Date: 22 Jan 93 01:42:42 GMT
  7. References: <31c31z=@rpi.edu> <1993Jan17.214117.27235@galois.mit.edu> <1jd41cINNdh4@gap.caltech.edu> <1jlhucINNrtj@darkstar.UCSC.EDU>
  8. Distribution: usa
  9. Organization: Rutgers Univ., New Brunswick, N.J.
  10. Lines: 45
  11.  
  12. ask@ucscb.UCSC.EDU (Andrew Stanford Klingler) writes:
  13.  
  14. >quantities mean, I find it helpful to think of the inner product.  When
  15. >you hear "The probability is the square of the amplitude" you're thinking
  16. > <a|a> = |a|^2 is the probability or density.  ...
  17.  
  18. Actually, <a|a> = |a|^2 is the squared norm (length) of the vector |a>.
  19. In order to get a probability amplitude, you need to put the vector
  20. together with (another) state vector.  I am sorry to pick this nit,
  21. but this was something that S*rf*tti gave us much grief by
  22. misunderstanding.  The rest of this is directed to the original poster:
  23.  
  24. For example, 
  25.  
  26. <psi|x> , which is what is written psi(x) in intro modern physics texts,
  27.  
  28. is the probability amplitude of finding a particle in state psi at
  29. position x.  The probability density is <psi|x><x|psi>, i.e.
  30. |<psi|x>|^2 
  31. The probability of finding the particle between x and x + dx is
  32.  
  33.   P(x,x+dx) = |<psi|x>|^2 dx = <psi|x> <x|psi> dx
  34.  
  35. A properly normalized state |psi> has norm 1, so <psi|psi> = 1.
  36. The particle should be somewhere between -infinity and +infinity,
  37. i.e. it is certain (probability = 1) that it is _somewhere_, so the 
  38. total probability should be 1:
  39.  
  40.                  +inf
  41.                 /
  42. P(-inf,+inf) = |  <psi|x> <x|psi> dx  = 1
  43.               /
  44.               -inf
  45.  
  46.                             /
  47. You see that I inserted a  |   |x><x|   dx    into the middle of <psi|psi>
  48.                           /
  49.  
  50. (where the integral is understood to be over all possible values of x,
  51. in this case -inf to +inf) without changing the value.  This is known
  52. as expanding in the basis "x".  I could equally well have expanded in
  53. the basis "p", where p is the momentum of the particle.  In some cases
  54. there are discrete bases, such as photon polarization, where vertical 
  55. and horizontal form a complete basis - in this case you sum over the
  56. basis rather than integrating.  Which basis you use is a matter of
  57. convenience - whatever helps you get the problem done.
  58.