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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18710 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-24  |  3.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!das-news.harvard.edu!husc-news.harvard.edu!ramanujan!elkies
  2. From: elkies@ramanujan.harvard.edu (Noam Elkies)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Distribution of primes mod 4
  5. Message-ID: <1993Jan24.123639.19744@husc3.harvard.edu>
  6. Date: 24 Jan 93 17:36:37 GMT
  7. Article-I.D.: husc3.1993Jan24.123639.19744
  8. References: <ARA.93Jan21081239@camelot.ai.mit.edu> <1993Jan21.141800.17997@linus.mitre.org> <1993Jan21.212120.251@leland.Stanford.EDU>
  9. Organization: Harvard Math Department
  10. Lines: 55
  11. Nntp-Posting-Host: ramanujan.harvard.edu
  12.  
  13. In article <1993Jan21.212120.251@leland.Stanford.EDU>
  14. ilan@leland.Stanford.EDU (ilan vardi) writes:
  15. :In article <1993Jan21.141800.17997@linus.mitre.org>
  16. :bs@gauss.mitre.org (Robert D. Silverman) writes:
  17. :>
  18. :>let u(x) = #{n <= x;  pi(n,1,4) < pi(n,3,4)}
  19. :>
  20. :>Then one would expect that u(x) = x/2 for almost all x. That is to say,
  21. :>for large x, about 1/2 the integers less than x have pi(n,1,4) < pi(n,3,4)
  22. :>and for about 1/2 the integers the inequality is reversed. This can be
  23. :>made more precise;
  24. :>
  25. :>u(x) = x/2 + O(x^{1-epsilon})  for any fixed epsilon.
  26. :
  27. :
  28. :Yo! This is clearly wrong, and you can't do better than epsilon = 1/2
  29. :(which is the generalized Riemann Hypothesis). In other words 
  30. :epsilon <= 1/2 in the above term. 
  31.  
  32. Careful here; this is different from the usual question of the number
  33. of primes <x in a given congruence class.  In fact, even under the
  34. optimal assumption that the extended Riemann Hypothesis holds for
  35. the L-function  L(s) = 1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s - + ...  and that
  36. the imaginary parts of the zeros in the upper half of the critical
  37. strip 0<Re(s)<1 are linearly independent over Q, one does not expect
  38. the set { n : pi(n;1,4) < pi(n;3,4) }  to have a natural density, only
  39. a logarithmic one; and, more remarkably, that density is strictly
  40. between 1/2 and 1!  (Thanks to Hugh Montgomery for clearing up
  41. some of my confusion in this regard.)
  42.  
  43. To see how this happens, let \chi be the character mod 4 (i.e.
  44. \chi(m)=0 if m even, +-1 if m=4k+-1), and let \Lambda be the
  45. von Mangoldt function: \Lambda(p^k)=\log(p) for p prime and k>=1,
  46. \Lambda(m)=0 if m is not a prime power.  Then one finds that
  47. sum(\chi(m)\Lambda(m), m=1..x) is approximated by the sum of
  48. x^rho/rho with rho running over the nontrivial zeros of L(s);
  49. under our assumption on these rhos, this is sqrt(x) times an
  50. almost periodic function of log(x) with zero mean, finite mean square
  51. (this since the sum of 1/|rho|^2 converges) but attaining arbitrarily
  52. large values (because sum(1/|rho|) diverges).  Now in the Prime
  53. Number Theorem, when we pass from the sum of \Lambda(m) to the
  54. count of primes <x the first thing we do is ignore the contribution
  55. of all prime powers higher than the first, which contribute
  56. "negligibly" to the sum.  However in our case this "negligible"
  57. contribution is asymptotically sqrt(x) [note that chi(p^2) is
  58. always 1 for p>2!].  Thus we find that pi(x;1,4)-pi(x;3,4)
  59. is approximated by sqrt(x)/log(x) times an almost periodic
  60. function of log(x) whose mean is -1!  Hence the estimate on
  61. the set of x for which it is negative.
  62.  
  63. --Noam D. Elkies (elkies@zariski.harvard.edu)
  64.   Dept. of Mathematics, Harvard University
  65.  
  66. P.S. Thanks to Paul C. Leyland for the references to Hans Riesel's
  67. book and to Bays and Hudson's computational work.
  68.