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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18709 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1993-01-24  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!portal!lll-winken!uwm.edu!spool.mu.edu!sol.ctr.columbia.edu!shire.math.columbia.edu!dy
  2. From: dy@shire.math.columbia.edu (Deane Yang)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: linear algebra problem
  5. Message-ID: <1993Jan24.175139.19561@sol.ctr.columbia.edu>
  6. Date: 24 Jan 93 17:51:39 GMT
  7. References: <1993Jan24.025831.8516@galois.mit.edu>
  8. Sender: nobody@ctr.columbia.edu
  9. Organization: Mathematics Department, Columbia University
  10. Lines: 31
  11. X-Posted-From: shire.math.columbia.edu
  12. NNTP-Posting-Host: sol.ctr.columbia.edu
  13.  
  14. In article <1993Jan24.025831.8516@galois.mit.edu> jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez) writes:
  15. >Someone once told me about the solution to the following problem.
  16. >Given two finite-dimensional vector spaces (over the complex numbers,
  17. >say) X and Y, classify all *pairs* of linear maps S,T: X -> Y up
  18. >to transformations of the pair (S,T) -> (gSh, gTh) where g and h are
  19. >invertible linear transformations of Y and X respectively.  Does
  20. >anyone recall the history of this problem and what its solution is?
  21.  
  22. In other words, given two rectangular matrices of the same dimension,
  23. you want to put them into some kind of simultaneous normal form.
  24. Right?
  25.  
  26. This can be done and is called the Kronecker pencil lemma. The only
  27. reference I know is Gantmacher's book on matrices.
  28.  
  29. It is also known as Grothendieck's splitting theorem, which states that
  30. any holomorphic vector bundle over the complex projective line
  31. (i.e. the 2-sphere) splits into a direct sum of line bundles.
  32. You can find a proof of this in a book by Okonek, et al on vector bundles
  33. over complex projective space.
  34.  
  35. The latter proof is, I believe, easier to follow than the former,
  36. assuming you know a little machinery (sheaves and all that).
  37.  
  38. I actually used this result in my thesis which was on solving overdetermined
  39. systems of PDE's. It would be useful to understand larger dimensional families
  40. of matrices. Again, this is equivalent to understanding vector bundles over
  41. complex projective space, which is a fairly involved subject.
  42.  
  43. Deane Yang
  44. Polytechnic University
  45.