home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18609 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-21  |  4.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!gatech!emory!ogicse!das-news.harvard.edu!cantaloupe.srv.cs.cmu.edu!TINMAN.OZ.CS.CMU.EDU!jmount
  2. From: jmount+@CS.CMU.EDU (John Mount)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Fundamental Tilings of the Plane
  5. Keywords: tile
  6. Message-ID: <C186HE.LC2.2@cs.cmu.edu>
  7. Date: 21 Jan 93 22:29:36 GMT
  8. Article-I.D.: cs.C186HE.LC2.2
  9. Sender: news@cs.cmu.edu (Usenet News System)
  10. Followup-To: sci.math
  11. Organization: Carnegie Mellon University
  12. Lines: 76
  13. Nntp-Posting-Host: tinman.oz.cs.cmu.edu
  14.  
  15. HI,
  16.  
  17. I was thinking about the 5 different types of crystallographic groups
  18. (a crystallographic group is a subgroup G of the group of orientation
  19. preserving isometries of the plane- such that there exists P, a
  20. connected compact subset of the plane called a tile, such that G the
  21. images of P under the action of G on the plane cover the plane exactly
  22. once (except on a set of measure zero), two groups are of the same
  23. type if they are conjugate) and their fundamental tilings (tiles such
  24. that for h,g in G:
  25.    interior(h(P)) intersect interior(g(P)) nonempty -> h = g).
  26.  
  27. I was wondering how many generators were required to present these
  28. groups.  For four of these group I could find two generator
  29. presentations of the groups- for the last I have not been able to find
  30. such a presentation.
  31.  
  32. Does anyone know if such a presentation exists for the 5th group or
  33. how to prove there isn't one (I guess it comes down to proving the
  34. monoid over a 2 character alphabet isn't free over this group)?
  35.  
  36. I am going to represent orientation preserving isometries of the plane 
  37. as 3x3 matrices: [  cos(a) sin(a) h ] acting on vectors of the form [ x ]
  38.                  [ -sin(a) cos(a) v ]                               [ y ]
  39.                  [      0      0  1 ]                               [ 1 ]
  40.  
  41. Then representatives of the five group types are:
  42.  
  43.         [ 1 0 1 ]       [ 1 0 0 ]
  44.     a = [ 0 1 0 ]   b = [ 0 1 1 ]
  45.         [ 0 0 1 ]       [ 0 0 1 ]
  46.  
  47.         [ 1 0 1 ]       [  0 1 0 ]
  48.     a = [ 0 1 0 ]   b = [ -1 0 0 ]
  49.         [ 0 0 1 ]       [  0 0 1 ]
  50.  
  51.         [ 1 0 1 ]       [        1/2  sqrt(3)/2  0 ]
  52.     a = [ 0 1 0 ]   b = [ -sqrt(3)/2        1/2  0 ]
  53.         [ 0 0 1 ]       [          0          0  1 ]
  54.  
  55.         [ 1 0 1 ]       [       -1/2  sqrt(3)/2  0 ]
  56.     a = [ 0 1 0 ]   b = [ -sqrt(3)/2       -1/2  0 ]
  57.         [ 0 0 1 ]       [          0          0  1 ]
  58.  
  59. and the one I don't know a 2 generator presentation for 
  60.  
  61.         [ 1 0 2 ]       [ 1 0 0 ]       [ -1  0 0 ]
  62.     a = [ 0 1 0 ]   b = [ 0 1 1 ]   c = [  0 -1 0 ]
  63.         [ 0 0 1 ]       [ 0 0 1 ]       [  0  0 1 ]
  64.         
  65. which, if I have it right, is the symmetry group of the following
  66. marked tiles (ignore the aspect ratio):
  67.  
  68. ------------------------------------------------------------------------------
  69. |**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    |
  70. |*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |
  71. |***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |
  72. ------------------------------------------------------------------------------
  73. |**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    |
  74. |*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |
  75. |***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |
  76. ------------------------------------------------------------------------------
  77. |**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    |
  78. |*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |
  79. |***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |
  80. ------------------------------------------------------------------------------
  81. |**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    | *****|**    |
  82. |*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |     *|*     |
  83. |***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |    **|***** |
  84. ------------------------------------------------------------------------------
  85.  
  86. -- 
  87. --- It is kind of strange being in CS theory, given computers really do exist.
  88. John Mount: jmount+@cs.cmu.edu               (412)268-6247
  89. School of Computer Science, Carnegie Mellon University, 
  90. 5000 Forbes Ave., Pittsburgh PA 15213-3891
  91.