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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18583 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-21  |  1.4 KB  |  40 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!news.smith.edu!orourke
  3. From: orourke@sophia.smith.edu (Joseph O'Rourke)
  4. Subject: Re: pyramid volume
  5. Message-ID: <1993Jan21.173423.11339@sophia.smith.edu>
  6. Organization: Smith College, Northampton, MA, US
  7. References: <1993Jan21.140402.25519@mr.med.ge.com>
  8. Date: Thu, 21 Jan 1993 17:34:23 GMT
  9. Lines: 29
  10.  
  11. In article <1993Jan21.140402.25519@mr.med.ge.com> carl@crazyman.med.ge.com (Carl Crawford) writes:
  12. >
  13. >how do show that the volume of a pyramid is 
  14. >
  15. >    1/3 * area of base * altitude 
  16. >    
  17. >without using calculus?
  18.  
  19. Nice question!  Although I don't have an answer, I would like to
  20. make an observation:  three identical tetrahedra pack half a cube.
  21.     Take the unit cube 
  22.         0 <= x <= 1
  23.         0 <= y <= 1
  24.         0 <= z <= 1
  25. and intersect it with the halfspace x+y <= 1.  The result is a 
  26. unit-height triangular prism, the convex hull of 
  27.         000, 100, 010, 
  28.         001, 101, 011,
  29. where "000" means "(0,0,0)" etc.  Suppose you believe the volume of
  30. this is V = A * h = A, where A is the base area and h=1 the height.
  31. Now partition the prism into three right tetrahedra, the hulls of
  32.         T1: 000, 100, 010, 001;
  33.         T2: 001, 101, 011, 100;
  34.         T3: 000, 001, 011, 100.
  35. T1 has base A on the plane z=0, and height 1;
  36. T2 has base A on the plane z=1, and height 1;
  37. T3 has base A on the plane x=0, and height 1.
  38.     Since these three are congruent, each has volume V/3.
  39. I looked for this construction in several books without luck.
  40.