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/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18577 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-21  |  1.8 KB  |  49 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!spool.mu.edu!agate!linus!linus.mitre.org!gauss!bs
  3. From: bs@gauss.mitre.org (Robert D. Silverman)
  4. Subject: Re: Distribution of primes mod 4
  5. Message-ID: <1993Jan21.141800.17997@linus.mitre.org>
  6. Sender: news@linus.mitre.org (News Service)
  7. Nntp-Posting-Host: gauss.mitre.org
  8. Organization: Research Computer Facility, MITRE Corporation, Bedford, MA
  9. References: <winer.727385758@husc.harvard.edu> <PCL.93Jan21100948@rhodium.ox.ac.uk> <ARA.93Jan21081239@camelot.ai.mit.edu>
  10. Date: Thu, 21 Jan 1993 14:18:00 GMT
  11. Lines: 36
  12.  
  13. In article <ARA.93Jan21081239@camelot.ai.mit.edu> ara@zurich.ai.mit.edu (Allan Adler) writes:
  14. >
  15. >How would one formulate and prove analogous theorems for primes in
  16. >arithmetic progressions other than 4n+/-1, 6n+/-1? One could take
  17.  
  18. stuff deleted....
  19.  
  20. >In view of all this potential generality, is 4n+/-1, 6n+/-1 really
  21. >the state of the art?
  22.  
  23. Knapowski and Turan have settled special cases, but the question
  24. of sign changes for pi(x,a1,b) - pi(x,a2,b)   a1 != a2 mod b 
  25. for general a1,a2, and b, is still wide open.
  26.  
  27. N.B. pi(x,a,b) == #{n <= x; n is prime and congruent to a mod b}
  28.  
  29. It can be shown that pi(x,1,4) - pi(x,3,4) 
  30.  
  31. (a) changes sign infinitely often
  32. (b) in an appropriate sense is positive as often as it is negative.
  33.  
  34. The way to interpret (b) is as follows:
  35.  
  36. let u(x) = #{n <= x;  pi(n,1,4) < pi(n,3,4)}
  37.  
  38. Then one would expect that u(x) = x/2 for almost all x. That is to say,
  39. for large x, about 1/2 the integers less than x have pi(n,1,4) < pi(n,3,4)
  40. and for about 1/2 the integers the inequality is reversed. This can be
  41. made more precise;
  42.  
  43. u(x) = x/2 + O(x^{1-epsilon})  for any fixed epsilon.
  44. --
  45. Bob Silverman
  46. These are my opinions and not MITRE's.
  47. Mitre Corporation, Bedford, MA 01730
  48. "You can lead a horse's ass to knowledge, but you can't make him think"
  49.