home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18555 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1993-01-21  |  2.1 KB  |  49 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!pipex!pavo.csi.cam.ac.uk!camcus!gjm11
  3. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  4. Subject: Re: Alephs again
  5. Message-ID: <1993Jan21.051406.7300@infodev.cam.ac.uk>
  6. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  7. Nntp-Posting-Host: grus.cus.cam.ac.uk
  8. Organization: U of Cambridge, England
  9. References: <1993Jan19.082655.6274@dxcern.cern.ch> <1jh2epINN15k@gap.caltech.edu> <1993Jan20.155553.19920@cadkey.com>
  10. Date: Thu, 21 Jan 1993 05:14:06 GMT
  11. Lines: 36
  12.  
  13. In article <1993Jan20.155553.19920@cadkey.com>, dennis@cadkey.com (Dennis Paul Himes) writes:
  14. > In article <1jh2epINN15k@gap.caltech.edu> allenk@ugcs.caltech.edu (Allen Knutson) writes:
  15. > >ydavid@dxds04.cern.ch (David Yann) greets us, and asks a bunch of
  16. > >set-theory questions. I'll state at the beginning: if one has the
  17. > >Axiom of Choice, much cardinal arithmetic becomes trivial.
  18. > >Without it, most things are hard (a countable union of countable
  19. > >sets can be uncountable, for instance).
  20. > >
  21. >      Is this true?  What is wrong with the following enumeration?
  22. >      Let f(i,j) be the i^th element of the j^th set, both indices starting
  23. > at zero.  Enumerate the union as follows:
  24. > n = 0;
  25. > for (i0 = 0; ; ++i0) {
  26. >     for (i1 = 0; i1 <= i0; ++i1) {
  27. >        enumeration[n++] = f (i1, i0 - i1);
  28. >     }
  29. > }
  30. >     Or, for those of you who don't know C,
  31. > f (0, 0),
  32. > f (0, 1), f (1, 0),
  33. > f (0, 2), f (1, 1), f (2, 0),
  34. > f (0, 3), f (1, 2), f (2, 1), f (3, 0),
  35. > etc.
  36. >     Some work would have to be done to eliminate duplicates, but I don't
  37. > see how this depends on AC or how this would not apply to any countable
  38. > union of countable sets.
  39.  
  40. The problem is a really annoying one. Each of the sets may be countable
  41. (i.e. for each set there is an enumeration) without there being a *choice*
  42. of one such enumeration for each set -- which is what you need for your
  43. algorithm to work. This probably sounds like hopeless nit-picking, but that's
  44. what set theory without the axiom of choice is like.
  45.  
  46. -- 
  47. Gareth McCaughan     Dept. of Pure Mathematics & Mathematical Statistics,
  48. gjm11@cus.cam.ac.uk  Cambridge University, England.    [Research student]
  49.