home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1993 #3 / NN_1993_3.iso / spool / sci / math / 18554 next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-21  |  2.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!usc!zaphod.mps.ohio-state.edu!moe.ksu.ksu.edu!math.ksu.edu!deadend
  2. From: frandag@math.ksu.edu (Francis Fung)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Irrational stamp problem
  5. Date: 21 Jan 1993 00:26:11 -0600
  6. Organization: Dept. of Mathematics, Kansas State University
  7. Lines: 41
  8. Message-ID: <1jlfm3INNo7p@hilbert.math.ksu.edu>
  9. References: <C16DI1.MD@cantua.canterbury.ac.nz>
  10. NNTP-Posting-Host: hilbert.math.ksu.edu
  11.  
  12. wft@math.canterbury.ac.nz (Bill Taylor) writes:
  13.  
  14. >In article <2338@sjfc.UUCP>, dmc@sjfc.UUCP (Cass Dan) writes:
  15. >|> 
  16. >|> You have an ink stamp which is so amazingly precise that, when inked
  17. >|> and pressed down on the plane, it makes every circle of irrational
  18. >|> radius (centered at the center of the stamp) black.
  19. >|> 
  20. >|> Question:  Can one use the stamp three times and make every point
  21. >|> in the plane black?  [assume plane was white to begin with, and
  22. >|> ignore the fact that no such stamp is physically possible]
  23.  
  24. >A very nice problem !
  25.  
  26. >Why not do it with only two stampings, where the second one is moved an
  27. >infinitesimal distance from the first one, thus covering all the points
  28. >left out by the first ?          JUST KIDDING !!
  29.  
  30. >Here's the real answer, that it can be done with three stampings.
  31.  
  32. (admittedly messy solutions deleted)
  33. This was a Putnam problem, the second time I took the exam (ARGH), and I 
  34. missed it in spite of the fact that it was in Newman's "A Problem Seminar"
  35. which I had studied a few days prior (ARRARRAGGGHHkklghk...*)
  36. Anyway, here is the slick solution. We exhibit three points such that
  37. if the distance to two of them is rational, then it must be of irrational
  38. distance to the third.
  39. Suppse (x,y) is at rational distance from (0,0) and (1,0).
  40. Then sqrt(x^2 + y^2)=p and sqrt((x-1)^2 + y^2)=q are both rational.
  41. The first implies X^2 + y^2 is rational.
  42. The second one implies that x^2 - 2x + 1 + y^2 = q^2 so that
  43. 2x-1= x^2+y^2 - q^2 is rational so that x is rational.
  44. Therefore,
  45. for any other point (a, 0), if sqrt((x-a)^2 + y^2) = r is rational, then
  46. x^2- 2ax + a^2 +y^2= r^2 so that a^2 - (2x)a + (x^2 + y^2 - a^2) = 0 is
  47. a quadratic equation that a satisfies.
  48. Therefore, any choice of a such that this quadratic CANNOT be satisfied, 
  49. e.g. cube root (3) , will be such that any point at rational distance
  50. from (0,0) and (1, 0) is at irrational distance from (a,0).
  51. Francis Fung
  52.  
  53.