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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / physics / 21609 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-12-22  |  3.1 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:21609 sci.math:17320
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!think.com!enterpoop.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  4. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  5. Subject: Re: The accelerating charge meets the EPR paradox.
  6. Message-ID: <1992Dec21.084200.456@galois.mit.edu>
  7. Sender: news@galois.mit.edu
  8. Nntp-Posting-Host: riesz
  9. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  10. References: <COLUMBUS.92Dec18170421@strident.think.com>
  11. Date: Mon, 21 Dec 92 08:42:00 GMT
  12. Lines: 47
  13.  
  14. The business about "inversion of statistics" for the blackbody radiation
  15. seen by an accelerating observer in 2+1 dimensions seems utterly bizarre
  16. to me and my first instinct would be to attempt to show that the
  17. calculation was done incorrectly... but being too lazy, I will simply
  18. shrug and add it to my list of things to hope I eventually figure out.
  19.  
  20. As for the following (Michael writes:)
  21.  
  22. "It is well known that Huygens' principle is valid only in even-dimensional
  23. spacetimes."  Huygens' principle (in case anyone who doesn't know has
  24. tagged along this far) tells us that if we make a sharp pulse disturbance
  25. to a field (a flash of light, a hand-clap) the pulse remains sharp as it
  26. spreads out--- so we see a flash and not a gradual increase/decrease in
  27. illumination.  Contrast this with dropping a stone in a pond.  (There is,
  28. incidentally, a nice intuitive argument that *because* Huygens' principle
  29. holds in 3+1 dimensions, it will fail in 2+1.  I don't know a simple
  30. intuitive reason though why it should hold in 3+1 dimensions.)
  31.  
  32.  
  33.  
  34. Well, the simplest reason way to check that Huyghen's principle holds in
  35. 3+1 dimensions is to show that the distribution delta(t^2 - r^2)
  36. satisfies the wave equation in this case.  Here r^2 = x^2 + y^2 + z^2 as
  37. usual, and I leave it as a challenge to work it out: show that the
  38. second time derivative of this distribution is the same as its Laplacian
  39. (best done in spherical coordinates).  (The trick with this exercise is
  40. to figure out how to take derivatives of such a beast.  Carefully!)
  41. This distribution is supported on the lightcone, and if one brutally
  42. multiplies it by theta(t) (which is zero for t < 0 and one for t > 0)
  43. one gets the elementary retarded solution of the wave equation.  The
  44. fact that this lives on the lightcone is Huyghen's principle.  
  45.  
  46. Since it's the holiday season I will be nicer than usual; to do the
  47. above one needs to know what something like delta(f(x)) really means,
  48. and they don't usually teach this well enough.  Say f(0) = 0 and
  49. f'(0) > 0.  What's the difference (near x = 0) between delta(f(x)) and
  50. the good old Dirac delta(x)?  Well, delta(f(x)) only makes sense
  51. integrated against a smooth test function, and if one does the integral
  52. by a change of variables one sees that delta(f(x)) = delta(x)/f'(x).
  53. Makes sense: the faster f(x) changes with x, the skinnier the delta
  54. function delta(f(x)) is, so one must divide by f'(x).  :-)  (Yes, friends,
  55. this CAN be made rigorous.  Read Gelfand's book Generalized Functions.)
  56. So one can show  
  57.  
  58. delta(t^2 - r^2) = delta(t - r)/2r + delta(t + r)/2r
  59.  
  60. Now there is a much more highbrow and slick approach due to Lax...
  61.