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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / physics / 21521 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-21  |  3.1 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:21521 sci.math:17247
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!think.com!yale.edu!jvnc.net!newsserver.technet.sg!nuscc!tim
  4. From: tim@iss.nus.sg (Tim Poston)
  5. Subject: Re: Can space-time intersect itself?
  6. Message-ID: <1992Dec21.084718.14554@nuscc.nus.sg>
  7. Sender: usenet@nuscc.nus.sg
  8. Organization: Institute of Systems Science, NUS, Singapore
  9. X-Newsreader: Tin 1.1 PL4
  10. References: <mcirvin.724718726@husc8>
  11. Date: Mon, 21 Dec 1992 08:47:18 GMT
  12. Lines: 55
  13.  
  14. mcirvin@husc8.harvard.edu (Matt McIrvin) writes:
  15.  
  16. : I get the feeling sometimes that something like this is what people
  17. : want when they express a fondness for an embedded universe: you have
  18. : a four-dimensional spacetime, and you explain curvature by saying 
  19. : that it "curves through some still higher dimensions."  You can do this
  20. : if the bigger manifold is Minkowskian, of course, but it takes away
  21. : some of the elegance of the idea.
  22.  
  23. Why so?
  24. Indefinite geometry is much more elegant than definite
  25. (for instance, two _indefinite_ real quadratic forms with
  26. the same zero sets must be scalar multiples of each other),
  27. but that's not the point at issue here.
  28. The question is whether intrinsic curvature
  29. (Gaussian scalar curvature in 2D,
  30. the Rieman tensor in general)
  31. can always be realized by a suitably curved embedding
  32. in a flat space --- an affine space with a translation-invariant metric.
  33. The answer is Yes for a pseudo-Riemannian manifold,
  34. though around black holes --- where the metric goes kerfloop ---
  35. I'm not up to date on whether embeddability is known.
  36. To make even a local embedding mentally useful in the case of spacetime,
  37. you do need to beef up your intuitive sense of (e.g.) how
  38. geodesics work in such indefinite embeddings;
  39. I drew some relevant pictures in
  40. Dodson & Poston, Tensor Geometry, Springer.
  41.  
  42. The fact of this possibility does _not_ mean that spacetime
  43. `is' isometrically embedded in some flat space.
  44. A very nice example is in the other direction: PacMan's universe.
  45. That is a flat square with opposite edges identified,
  46. topologically therefore a torus.
  47. But to get a _flat_ intrinsic geometry for the torus
  48. by an embedding, you need more than the usual 3D surrounding space;
  49. you can't do it in less than four flat dimensions
  50. (where it's easy, as the product of a circle in the (x0,x1)-plane
  51. with a circle in the (x2,x3)-plane ).
  52. Thus that manifold needs more dimensions to be `flat around'
  53. than to be `curved around', and nothing about PacMan's 2D universe
  54. has any stronger flavour of 4D than our own has of the many
  55. flat dimensions we would need (even locally) to embed that.
  56. The simplest local embedding of a 2D (time,radius) slice around the Sun,
  57. (which does help in understanding the way that geodesics go,
  58. i.e., how planets move) is periodic in time
  59. (Tensor Geometry, Fig.XII.3.2);
  60. this does _not_ mean that time is looped for the Solar System.
  61. Embeddability and embeddedness are very different questions.
  62.  
  63. Tim Poston
  64.  
  65.  
  66. _________________________________________________________________
  67.         And the Lord spake unto Adam, saying "RTFM".
  68. ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
  69.