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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / numanal / 3698 < prev    next >
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Text File  |  1992-12-29  |  2.8 KB  |  98 lines
  1. Newsgroups: sci.math.num-analysis
  2. Path: sparky!uunet!paladin.american.edu!darwin.sura.net!spool.mu.edu!uwm.edu!ux1.cso.uiuc.edu!news.iastate.edu!IASTATE.EDU!jhmiller
  3. From: jhmiller@IASTATE.EDU (James H Miller)
  4. Subject: Hyperbolic Systems...(question)
  5. Message-ID: <1992Dec29.140847@IASTATE.EDU>
  6. Sender: news@news.iastate.edu (USENET News System)
  7. Reply-To: jhmiller@IASTATE.EDU (James H Miller)
  8. Organization: Iowa State University
  9. Date: Tue, 29 Dec 1992 20:08:47 GMT
  10. Lines: 86
  11.  
  12.  
  13. Ok here it is......
  14.  
  15. First start with a system that is hyperbolic or at least quasi-hyperbolic.
  16. Such as...
  17.  
  18.  
  19.         [U]     +     [F]    =   [0]                         (1)
  20.            t             x            
  21.  
  22.  
  23. where [F] is (or has the property of being) homogeneous of degree one in [U]. 
  24. This means(I think..) that the above equation can be written as :
  25.  
  26.         [U]      +     [A][U]    = 0                           (2) 
  27.            t                 x     
  28.         
  29.  
  30. Where [A] is given as d[F]/d[U] = [A].    
  31. For the above system to be purely hyperbolic the eigenvalues of [A] must all
  32. be real and distinct. If the eigenvalues are repeated the system can be
  33. "hyperbolic" if a set of eigenvectors are linearly independent.
  34. Given this hyperbolic system of equations (or at least quasi-hyperbolic), I
  35. would like to show the following:
  36.  
  37.  
  38.  
  39.         [R]   +  [A][R]   = 0                                  (3)
  40.            t           x            
  41.  
  42.     
  43.  
  44.     where [R] is a square matrix whose columns consist of the right eigenvectors of
  45. [A]. 
  46. This type of equation comes about if one tries to manipulate the second 
  47. equation into a form via the substitution: [R][w] = [U]
  48. Which gives:.....
  49.  
  50.         ([R]    +   [A][R] ) [w]  + [R][w]   +  [A][R][w]   = [0]   (4)
  51.             t             x               t              x       
  52.  
  53.     Then we get the result:
  54.  
  55.  
  56.                          [w]      +     [R]^(-1)[A][R][w]    = [0]    (5)
  57.                             t                            x
  58. Or:
  59.                       \
  60.         [w]       + [ /\ ] [w]   = [0]   
  61.            t                  x         
  62.                   \   
  63.            where [/\] is a diagonal matrix having eigenvalues on its diagonal. 
  64.  
  65.  
  66. So the bottom line is can you show equation (3) equals zero.? 
  67. An engineer's way around that is to say [R] is a constant :) but 
  68. since this news group is a math mecca I was hoping to find a more sophiscated
  69. way! 
  70.  
  71.  
  72.     Well, thanks in advance!  
  73.     P.S. I hope the tabs and spaces show up as I typed them....
  74.  
  75.  
  76.  
  77. ------------------------------------------------------------------------------
  78.  
  79.  
  80.     Jim Miller                jhmiller@iastate.edu
  81.     Department of Aerospace                 phone:  515-294-9497
  82.           Engineering 
  83.     Iowa State University
  84.     (maybe a graduate someday)
  85.  
  86.     "Failing to plan is planning to fail" - John Atella
  87.     "The roof! The roof! The roof is on fiyah!........"
  88.  
  89.  
  90.  
  91.  
  92.  
  93.  
  94.  
  95.  
  96.  
  97.      
  98.