home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17615 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-01-03  |  3.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!convex!news.utdallas.edu!corpgate!bnrgate!bnr.co.uk!uknet!doc.ic.ac.uk!agate!ames!saimiri.primate.wisc.edu!crdgw1!rpi!sarah!annemarie.albany.edu!hammond
  2. From: hammond@csc.albany.edu (William F. Hammond)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: factorization in commutative rings
  5. Message-ID: <HAMMOND.93Jan3134111@annemarie.albany.edu>
  6. Date: 3 Jan 93 18:41:11 GMT
  7. References: <Jan.3.02.05.44.1993.24643@spade.rutgers.edu>
  8. Sender: hammond@sarah.albany.edu (William F. Hammond)
  9. Distribution: sci.math
  10. Organization: Dept of Math & Stat, SUNYA, Albany, NY
  11. Lines: 71
  12. In-Reply-To: cadet@spade.rutgers.edu's message of 3 Jan 93 07:05:44 GMT
  13.  
  14. In article <Jan.3.02.05.44.1993.24643@spade.rutgers.edu>
  15.    cadet@spade.rutgers.edu (Uniquely TiJean) writes:
  16.  
  17. > Well, Given D an integral domain 
  18. > 
  19. > Then D = euclidean domain ==> D = principal ideal domain ==> D = factorial 
  20. >                                     domain.
  21. > 
  22. > I am looking for counterexamples 
  23. > 
  24. > A) D= factorial domain doesn't imply D= princ. idl. domain
  25. > 
  26. >    Standard example   Z[x] or F[x,y] where F=field
  27.  
  28. "PID" ==> every non-zero prime ideal is maximal ==> Krull dim = 1,
  29. which is very special.  Note that  Z[x]  and  F[x,y]  both have
  30. Krull dim = 2.   For example, if  A  is a domain that is finitely-
  31. generated as a  C-algebra  of Krull dimension at least two, then the
  32. maximal ideals of  A  correspond to points of an affine algebraic
  33. variety.  These points are "smooth" points of that variety except
  34. for those lying in a subset, possibly empty, of postive codimension.
  35. The localizations of  A  at the maximal ideals corresponding to smooth
  36. points are all factorial local rings that are not PID's.  (This is not
  37. so elementary.)  To get more explicit look at the localizations at
  38. "general" maximal ideals of  A = C[X_1, . . ., X_N]/F, where  N >= 3
  39. and  F  is irreducible.  ["Usually" if  F(0,...,0) = 0, then the maximal
  40. ideal corresponding to (0,...,0), i.e., that generated by X_1,...,X_N,
  41. is "general".]
  42.  
  43. > B) D= princ. idl. domain doesn't imply D= euclidean domain.
  44. > 
  45. >    Well, I found in Hungerford ( Algebra ) 
  46. > 
  47. >    the following  Z( (1+sqrt(-19)) / 2 )
  48. > 
  49. > Question: How come? I have no cue as to why the above domain isn't euclidean.
  50.  
  51. Is there a standard definition of "Euclidean", i.e., of what it means to
  52. have a ring in which there is a division algorithm?  Anyway, that is not
  53. a problem here.
  54.  
  55. Let  w = (1+sqrt(-19))/2 ,  R = Z[w] = Z + Zw , and  K = Q(w) = Frac(R).
  56. In this context "Euclidean" means that given  a, b  in  R  with  b  not
  57. 0,  one can find  q, r  in  R  such that  (i)  a = qb + r   and
  58. (ii)  Nm(r) < Nm(b),  where  Nm(x)  is the product of  x  and its
  59. conjugate.  (Note:  Nm(x) > 0  for  x  not  0.)
  60.  
  61. "Euclidean" is equivalent to the statement that given an element  x  of
  62. K  there is an element  a  of  R  such that  Nm(x-a) < 1.
  63.  
  64. If we identify  w  with one of its two complex conjugates, then  R becomes
  65. a lattice in  C and  K  a subset of  C  that is dense in the Euclidean
  66. topology on  C.  "Euclidean" is thus equivalent to the assertion that
  67. every complex number in a dense subset is within distance 1 of a lattice
  68. point, i.e., that the disks of radius 1 centered at lattice points cover
  69. the plane.  If the discriminant of the imaginary quadratic field at hand
  70. is large enough in absolute value, then the lattice points will be "too
  71. spread out" for this to be the case.
  72.  
  73. Thus, it is easy to see that if the absolute value of the discriminant of
  74. an imaginary quadratic field  K  is larger than a bound that can be made
  75. explicit, then the ring of its integers  R  cannot be Euclidean.
  76.  
  77. > PS. I am preparing for my quals so that's why I asked.
  78.  
  79. Good luck with your qual.
  80. ----------------------------------------------------------------------
  81. William F. Hammond                   Dept. of Mathematics & Statistics
  82. 518-442-4625                         SUNYA, Albany, NY 12222 (U.S.A.)
  83. hammond@csc.albany.edu               FAX: 518-442-4731
  84. ----------------------------------------------------------------------
  85.