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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17596 < prev    next >
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Text File  |  1993-01-02  |  1.8 KB  |  44 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!SAIL.Stanford.EDU!rivin
  3. From: rivin@SAIL.Stanford.EDU (Igor Rivin)
  4. Subject: Re: How's your geometric intuition?
  5. Message-ID: <1993Jan2.203339.25416@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <1992Dec31.222328.22744@samba.oit.unc.edu>
  9. Date: Sat, 2 Jan 1993 20:33:39 GMT
  10. Lines: 32
  11.  
  12. In article <1992Dec31.222328.22744@samba.oit.unc.edu> Jim.Buddenhagen@launchpad.unc.edu (Jim Buddenhagen) writes:
  13. >Start with a regular tetrahedron circumscribed by a sphere.  Subdivide
  14. >each triangle into 4 triangles by connecting edge midpoints, and project
  15. >to the sphere (radially), to obtain a new polyhedron with all vertices
  16. >on the sphere and with 16 triangular faces.
  17. >
  18. >Repeat this procedure with the new polyhedron to get a third polyhedron.
  19. >
  20. >True or false:  this third polyhedron is convex.
  21. >
  22. >(I found the answer surprising, what about you?)
  23. >--
  24.  
  25. A simpler example of this phenomenon can be gotten by taking a regular
  26. octahedron inscribed in the sphere and stellating the faces (that is,
  27. adding a vertex in the middle of each face, connected to the vertices
  28. of each face), and then pushing the new vertices out to the sphere.
  29. This will not be convex, no matter where you put the new vertices.
  30. What's more, there is no convex polyhedron inscribed in the sphere
  31. combinatorially equivalent to the stellated icosahedron (which only
  32. has 24 faces, but is not the smallest example). 
  33.  
  34. These kinds of questions go back a long way (to Descartes), and seem
  35. to be finally well understood, through some work of mine on hyperbolic
  36. geometry; see the research announcement in the most recent (Oct 92)
  37. Bulletin of the AMS. I can send you the actual preprints/reprints, if
  38. you are interested. 
  39.  
  40.  
  41.     Igor Rivin
  42.  
  43.  
  44.