home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17542 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-31  |  1.9 KB  |  49 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: need proof:  (1 + 1/n)^n ==> e
  5. Message-ID: <1992Dec31.073054.28133@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <1992Dec29.094842.3685@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> <VICTOR.92Dec30104755@terse.watson.ibm.com> <1992Dec31.045851.26887@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  9. Date: Thu, 31 Dec 1992 07:30:54 GMT
  10. Lines: 37
  11.  
  12. In article <1992Dec31.045851.26887@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  13. >
  14. >Problem.  Give comparably elementary proofs of the stronger result that
  15. >X_n (not just X_N) has a limit, and the yet stronger result that X_n is
  16. >monotone increasing [where X_n = (1+1/n)^n --- the point here is to do
  17. >this without resorting to either the arithmetic-geometric mean inequality
  18. >or the tedium of binomial expansion.].
  19.  
  20. Seems like a good dinner is almost as effective as sleeping on a
  21. problem.
  22.  
  23. Lemma.  (1-1/n^2)^n >= 1-1/n, for integer n>0.
  24.  
  25. Proof.  Shaving one face of the unit n-cube to a depth of 1/n^2 removes
  26. volume 1/n^2, so shaving n faces removes at most volume 1/n.
  27.  
  28. (Is there a comparably simple algebraic argument?  Disturbing if not.)
  29.  
  30.  
  31. Proposition.  X_n increases monotonically.
  32.  
  33. Proof:  X_n / X_{n-1}  =  (1+1/n)^n * (1-1/n)^{n-1}
  34.                =  (1-1/n^2)^n / (1-1/n)
  35.                >=  1   by the Lemma.
  36.  
  37. This plus Lemma 2 (Y_N increases monotically---I don't see a comparably
  38. simple proof that Y_n increases monotonically) from my previous message
  39. then allows us to bound X_n via
  40.  
  41.     X_n  <  X_N  <  1/Y_N  <  1/Y_1.
  42.  
  43. where N is any power of 2 >= n (recall that 1/Y_N = (1+1/(N-1))^N).
  44.  
  45. I think this offers everything obtainable from the AGM argument.  Still
  46. not as short as my elementary argument that X_N is monotone though.
  47. -- 
  48. Vaughan Pratt                There's safety in certain numbers.
  49.