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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17518 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-30  |  2.9 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17518 sci.physics:21900
  2. Path: sparky!uunet!cs.utexas.edu!asuvax!chnews!sedona!bhoughto
  3. From: bhoughto@sedona.intel.com (Blair P. Houghton)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  5. Subject: Re: Bayes' theorem and QM
  6. Date: 30 Dec 1992 20:37:47 GMT
  7. Organization: Intel Corp., Chandler, Arizona
  8. Lines: 55
  9. Message-ID: <1ht1arINNf8a@chnews.intel.com>
  10. References: <1992Dec24.101452.16194@oracorp.com>
  11. NNTP-Posting-Host: stealth.intel.com
  12.  
  13. In article <1992Dec24.101452.16194@oracorp.com> daryl@oracorp.com (Daryl McCullough) writes:
  14. >It would be nice if the volume of a region of space were always
  15. >well-defined, but it is not. A demonstration due to Banach and Tarski
  16. >showed that it is possible (mathematically, rather than physically
  17. >possible) to decompose a sphere into a finite number of pieces and
  18. >then recombine them by rotations and translations to get two complete
  19. >spheres. It is easy to see that these pieces cannot possibly have
  20. >volumes, since that would lead to the conclusion that the volume of
  21. >two spheres equals the volume of one sphere.
  22. >
  23. >So one cannot always assume that *every* set has a measure (or volume,
  24. >or probability).
  25.  
  26. I'll buy the explanation (conditioned on the conjecture
  27. that such a situation might exist, which as yet isn't
  28. anything more than conjecture), but not the example.
  29.  
  30. The two spheres thus formed do indeed have the same volume
  31. sum as the original sphere, but each has less volume than
  32. the original, or else they weren't composed of a finite
  33. number of pieces[*], or else when constructed they contained
  34. gaps, internally.
  35.  
  36. That, or their "volume" is fractal, being the effective
  37. volume of a convoluted surface, and therefore isn't
  38. actually of order 3 but of some order less than 3 and
  39. greater than 2.  This way you get a finite number of pieces
  40. but some pieces are composed of an infinite number of
  41. infinitesimal objects connected by infinitesimal objects,
  42. e.g. concentric spheres of rational diameters connected
  43. by a single diameter, leaving concentric spheres of
  44. irrational diameters connected by a single chord displaced
  45. from the diameter by an irrational, infinitesimal amount (i.e.,
  46. tangent to the smallest spherical shell of irrational diameter).
  47.  
  48. And it might even be "possible" physically; imagine a large
  49. crystal of NaCl carved to be spherical.  Now separate
  50. disintegrate it so that you have two spheres, one only of
  51. Na+ ions and one only of Cl- ions, with each ion in its
  52. original position wrt the center of mass of its own kind.
  53. Their masses are each now less than the original, but their
  54. "volumes" are each at least as large (likely larger and
  55. expanding at a fantastic rate, unless you do something
  56. interesting like containing them inside inert, solid shells
  57. for the purpose of argument).
  58.  
  59. But that's beside the point.
  60.  
  61. Are there any constraints on the mathematics of "quantum
  62. probabilities" that are similar to Sigma algebras for
  63. "classical probabilities?"
  64.  
  65.                 --Blair
  66.                   "Beside the point is of
  67.                    course another point."
  68.