home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17466 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-28  |  1.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!bnr.co.uk!uknet!mcsun!ieunet!tcdcs!maths.tcd.ie!tim
  2. From: tim@maths.tcd.ie (Timothy Murphy)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Composition-commuting polynomials
  5. Summary: Is there a general theory of polynomials commuting under composition?
  6. Keywords: Polynomials commuting composition
  7. Message-ID: <1992Dec28.175128.1186@maths.tcd.ie>
  8. Date: 28 Dec 92 17:51:28 GMT
  9. Organization: Dept. of Maths, Trinity College, Dublin, Ireland.
  10. Lines: 30
  11.  
  12. Which polynomials f(x) satisfy
  13.  
  14.     f(x^2+1) = f(x)^2 + 1 ?
  15.  
  16. Evidently this is satisfied by f(x) = x^2 + 1,
  17. and in general, if we define g^{[n]}(x) 
  18. as the n-th compositional power of x^2+1, ie
  19.  
  20.     g^{[0]}(x) = x, g^{[n]}(x) = g^{[n-1]}(x^2+1),
  21.  
  22. then f(x) = g^{[n]}(x) will commute (in the above sense) with g(x).
  23. But are these all the polynomials with this property?
  24.  
  25. I'm sure this subject must have been exhaustively discussed somewhere,
  26. but where?
  27. (It arose when I set the above problem in a Putnam-like competition here.
  28. Fortunately, I worded it in the above form,
  29. which you will notice does not require that the setter can solve the problem!
  30. Long experience teaches that there are few questions
  31. that cannot be stated in this agnostic manner.)
  32.  
  33. In general, which polynomials f(x) commute (compositionally)
  34. with a given polynomial g(x)?
  35.  
  36.  
  37. -- 
  38. Timothy Murphy  
  39. e-mail: tim@maths.tcd.ie
  40. tel: +353-1-2842366
  41. s-mail: School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland
  42.