home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17460 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-28  |  2.2 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17460 sci.physics:21816
  2. Path: sparky!uunet!think.com!news!columbus
  3. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  5. Subject: Re: More on Huygens' principle
  6. Date: 28 Dec 92 11:45:54
  7. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  8. Lines: 36
  9. Message-ID: <COLUMBUS.92Dec28114554@strident.think.com>
  10. References: <COLUMBUS.92Dec23114933@strident.think.com>
  11.     <kranzer.725258280@adx.adelphi.edu>
  12. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  13. In-reply-to: kranzer@adx.adelphi.edu's message of Fri, 25 Dec 1992 04:38:00 GMT
  14.  
  15. I wrote:
  16.  
  17.    John Baez has posted the outline of two computations that show why Huygens'
  18.    principle holds for the wave equation with an odd number of spatial
  19.    dimensions, except 1, but fails in even dimensions.
  20.  
  21.    I'm a little puzzled about the exception of 1.  Isn't u = f(x+t) + g(x-t) a
  22.    general solution to the wave equation in 1 dimension?  This appears to
  23.    propagate without leaving "echoes", i.e., if the supports of f and g for
  24.    t=0 are contained in [-a,a], then the support at t>0 is contained in the
  25.    union of [-a-t, a-t] and [-a+t, a+t].  This should work also for
  26.    distributions.  What am I missing?
  27.  
  28. Herbert Kranzer replies:
  29.  
  30.    Close, but no cigar.  Imagine two functions f and g with support R such
  31.    that  f + g  has support in [-a, a]; for example, f(x) = sgn(x+a) and
  32.    g(x) = -sgn(x-a).  Then u(x,0) has support in [-a, a], while the support
  33.    of u(x,t) is the entire interval [-a-t, a+t].
  34.  
  35.    Your argument does, in fact, tell half the story.  If you look at the
  36.    d'Alembert solution to the initial value problem  u(x,0) = v(x),
  37.    u_t(x,0) = w(x) for the one-dimensional wave equation  u_tt = u_xx,
  38.    you will find that v(x) propagates as a sharp front as in Huyghens' 
  39.    principle, but w(x) leaves echoes.
  40.  
  41. OK, I think I see.  The general solution is
  42.  
  43.                                          / x+t
  44.     u(x,t) = v(x+t)/2 + v(x-t)/2 + (1/2) |      w(s)ds
  45.                                          / x-t
  46.  
  47. and v = f+g, w = f'-g'.  If f and g *both* have support in [-a,a], then
  48. v and w cannot be chosen arbitrarily.  I suppose a sharp "explosion" at
  49. t=x=0 is best modelled by taking v identically 0, and w a delta function.
  50. Thanks.
  51.