home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17409 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-25  |  1.8 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17409 sci.physics:21755
  2. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  3. Path: sparky!uunet!haven.umd.edu!darwin.sura.net!jvnc.net!adx.adelphi.edu!adx.adelphi.edu!kranzer
  4. From: kranzer@adx.adelphi.edu (Herbert Kranzer)
  5. Subject: Re: More on Huygens' principle
  6. Message-ID: <kranzer.725258280@adx.adelphi.edu>
  7. Organization: Adelphi University
  8. References: <COLUMBUS.92Dec23114933@strident.think.com>
  9. Date: Fri, 25 Dec 1992 04:38:00 GMT
  10. Lines: 31
  11.  
  12. columbus@strident.think.com (Michael Weiss) writes:
  13.  
  14.  
  15. >John Baez has posted the outline of two computations that show why Huygens'
  16. >principle holds for the wave equation with an odd number of spatial
  17. >dimensions, except 1, but fails in even dimensions.
  18.  
  19. >I'm a little puzzled about the exception of 1.  Isn't u = f(x+t) + g(x-t) a
  20. >general solution to the wave equation in 1 dimension?  This appears to
  21. >propagate without leaving "echoes", i.e., if the supports of f and g for
  22. >t=0 are contained in [-a,a], then the support at t>0 is contained in the
  23. >union of [-a-t, a-t] and [-a+t, a+t].  This should work also for
  24. >distributions.  What am I missing?
  25.  
  26.  
  27. Close, but no cigar.  Imagine two functions f and g with support R such
  28. that  f + g  has support in [-a, a]; for example, f(x) = sgn(x+a) and
  29. g(x) = -sgn(x-a).  Then u(x,0) has support in [-a, a], while the support
  30. of u(x,t) is the entire interval [-a-t, a+t].
  31.  
  32. Your argument does, in fact, tell half the story.  If you look at the
  33. d'Alembert solution to the initial value problem  u(x,0) = v(x),
  34. u_t(x,0) = w(x) for the one-dimensional wave equation  u_tt = u_xx,
  35. you will find that v(x) propagates as a sharp front as in Huyghens' 
  36. principle, but w(x) leaves echoes.
  37.  
  38.  
  39. Herbert Kranzer                Dept. of Math. & Computer Sci.        
  40. kranzer@adx.adelphi.edu        Adelphi University         
  41.                                Garden City, NY 11530
  42.  
  43.