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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17391 < prev    next >
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Text File  |  1992-12-24  |  3.4 KB  |  73 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!wupost!sdd.hp.com!spool.mu.edu!agate!ames!data.nas.nasa.gov!wk223.nas.nasa.gov!asimov
  3. From: asimov@wk223.nas.nasa.gov (Daniel A. Asimov)
  4. Subject: Re: The Continuum Hypothesis:  Must it be {True or False}, or Not?
  5. References: <1992Dec11.162239.8548@cadkey.com> <1992Dec14.200024.6435@nas.nasa.gov> <1992Dec24.034938.11339@smsc.sony.com>
  6. Sender: news@nas.nasa.gov (News Administrator)
  7. Organization: NAS, NASA Ames Research Center, Moffett Field, California
  8. Date: Thu, 24 Dec 92 17:59:30 GMT
  9. Message-ID: <1992Dec24.175930.12890@nas.nasa.gov>
  10. Lines: 61
  11.  
  12. In article <1992Dec24.034938.11339@smsc.sony.com> markc@smsc.sony.com (Mark Corscadden) writes:
  13. >In article <1992Dec14.200024.6435@nas.nasa.gov> asimov@wk223.nas.nasa.gov (Daniel A. Asimov) writes:
  14. >>       Do people buy this, that FLT must be {true or false}, regardless of
  15. >>       whether it is provably true or false (i.e., decidable)?
  16. >>Dan Asimov
  17. >
  18. >In email, Dan suggested using the phrase "having determinate truth-value"
  19. >to say that a proposition must be {true or false}, regardless of whether
  20. >it is provably true or false.
  21. >
  22. >I'll shorten this, simply saying that such a proposition is "determinate".
  23. >
  24. >To answer Dan's question, I buy - beyond any doubt - that FLT is
  25. >determinate.  On the other hand I can't convince myself that CH (the
  26. >Continuum Hypothesis) is determinate, but at the same time I can't
  27. >find any necessary reason to believe that CH is indeterminate either.
  28. >
  29. > [...]
  30. >Mark Corscadden
  31. -----------------------------------------------------------------------------------
  32.  
  33. I would like to comment on what I perceive to be the difference between 
  34. the likelihood of FLT being determinate versus the likelihood of CH being 
  35. determinate.
  36.  
  37. Time.
  38.  
  39. That is, how much "time" would it take to check either of these propositions?
  40.  
  41. In the case of FLT, we could completely check its truthfulness in countable time:
  42. enumerate all candidates a,b,c,n, and do the arithmetic. After countable time is over,
  43. we know the answer. (Here the "unit" of time is the time it takes to calculate
  44. a^n + b^n - c^n and decide whether it is equal to 0.)
  45.  
  46. In the case of CH, there are a lot more things to check:  We can imagine considering
  47. all possible infinite subsets S of the reals R--all 2^c of them.  For each such S, we 
  48. can imagine all possible mappings f: S -> R, and all possible mappings g: S -> Z from
  49. S to the integers.  And we can imagine checking whether f or g is bijective.
  50. If, for each S, either an f: S -> R or a g: S -> Z is bijective, then of course 
  51. CH is true; otherwise it's false.
  52.  
  53. An unthinkable number of things to check.  However, the whole process could be broken 
  54. down into tiny, easily-imaginable steps:  LOTS of them.  The set of all steps to carry
  55. out could be well-ordered.  Then the steps could be (tediously) carried out in a very
  56. large cardinal (or shall we say ordinal?) amount of time.
  57.  
  58. So IMHO, the salient difference between the likelihood of FLT's being determinate,
  59. and CH's being determinate, is that CH would simply take a *lot longer* to check.
  60. But since I can clearly conceive of carrying out either check, I personally believe
  61. that both of them are determinate.  
  62.  
  63. (Although in the case of CH, given the chance I would definitely delegate the 
  64. responsibility of carrying out the check. (:-)>)
  65.  
  66. Dan Asimov
  67. Mail Stop T045-1
  68. NASA Ames Research Center
  69. Moffett Field, CA 94035-1000
  70.  
  71. asimov@nas.nasa.gov
  72. (415) 604-4799
  73.