home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17387 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-24  |  4.2 KB
  1. Xref: sparky sci.math:17387 sci.physics:21727
  2. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  3. Path: sparky!uunet!psinntp!scylla!daryl
  4. From: daryl@oracorp.com (Daryl McCullough)
  5. Subject: Re: Bayes' theorem and QM
  6. Message-ID: <1992Dec24.101452.16194@oracorp.com>
  7. Organization: ORA Corporation
  8. Date: Thu, 24 Dec 1992 10:14:52 GMT
  9. Lines: 90
  10.  
  11. bhoughto@sedona.intel.com (Blair P. Houghton) writes:
  12.  
  13. >How would a "non-classical probability theory" look?  What is
  14. >the limitation of "classical probability theory," and just
  15. >what is a "classical probability theory?"
  16.  
  17. Classical and quantum probability are described in the book "Quantum
  18. Probability" by Stanley Gudder. There is nothing especially "quantum"
  19. about quantum probability, except for the fact that it can be applied
  20. to quantum mechanics.
  21.  
  22. Briefly, the differences between classical and nonclassical
  23. probability theory is mostly about the issue of nonmeasurable sets.
  24. (Probability theory being a special case of measure theory).
  25.  
  26. Nonmeasurable sets:
  27.  
  28. Take the simple case of the good old Lebesgue measure for
  29. three-dimensional space. In this case measure is essentially
  30. the same as volume. 
  31.  
  32. Suppose that we know that a point particle is somewhere inside the
  33. unit cube centered at the origin (that is, its x coordinate is between
  34. + 1/2 and - 1/2, and so is its y coordinate, and so is its z
  35. coordinate). Suppose further that the particle is equally likely to be
  36. anywhere in that region. Then we can answer a question like: What is
  37. the probability that the point is in region A (where A is a subset of
  38. the unit cube)? The probability is simply the three-dimensional volume
  39. of region A.
  40.  
  41. It would be nice if the volume of a region of space were always
  42. well-defined, but it is not. A demonstration due to Banach and Tarski
  43. showed that it is possible (mathematically, rather than physically
  44. possible) to decompose a sphere into a finite number of pieces and
  45. then recombine them by rotations and translations to get two complete
  46. spheres. It is easy to see that these pieces cannot possibly have
  47. volumes, since that would lead to the conclusion that the volume of
  48. two spheres equals the volume of one sphere.
  49.  
  50. So one cannot always assume that *every* set has a measure (or volume,
  51. or probability).
  52.  
  53. Sigma algebras:
  54.  
  55. Of course, these pieces are very weird, and are not regions one is
  56. typically interested in. Therefore, a measure theory does not have to
  57. assign measures to every set, but only to the sets of interest. The
  58. assumption behind classical measure theory is that the measurable sets
  59. form a sigma algebra. All this means is that we have some collection
  60. of basis sets for which measures are given, and all other measurable
  61. sets are formed from these by combinations of the operations of:
  62.  
  63.    set difference,
  64.    set intersection (countable intersections),
  65.    set union (countable unions)
  66.  
  67. These are the operations of a sigma algebra. These operations, though
  68. they won't necessarily give you all sets, gives a nice collection of
  69. sets, which have a nice, intuitive interpretation in the case of
  70. probability measures: Every set can be thought of as a proposition;
  71. for instance we can associate a set A with the proposition "The
  72. particle is somewhere in set A". The fact that the measurable sets
  73. form a sigma algebra means that any logical combination of such
  74. statements is given a probability of being true.
  75.  
  76. Nonclassical measure theory:
  77.  
  78. Nonclassical measure theory simply drops the assumption that the
  79. measurable sets form a sigma algebra. It allows for the possibility
  80. that proposition A may have a well-defined probability, and proposition
  81. B may also have a well-defined probability, while the proposition A and
  82. B may be given no probability whatsoever.
  83.  
  84. The applicability to quantum mechanics should be obvious: wave
  85. functions allow us to calculate the probability that the particle can
  86. be found in region A, and they allow us to calculate the probability
  87. that its momentum is in region B, but they don't allow us to calculate
  88. the probability that the particle is in region A *and* its momentum is
  89. in region B. Quantum mechanics does not give a unique answer to such
  90. questions.
  91.  
  92. So nonclassical probability theory differs from classical probability
  93. theory in that it may fail to give probabilities for logical
  94. combinations of meaningful propositions.
  95.  
  96. Daryl McCullough
  97. ORA Corp.
  98. Ithaca, NY
  99.  
  100.  
  101.