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/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17340 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-22  |  2.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!wupost!waikato.ac.nz!canterbury.ac.nz!math!wft
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: Sums of reciprocals
  4. Message-ID: <Bzosso.FH9@cantua.canterbury.ac.nz>
  5. From: wft@math.canterbury.ac.nz (Bill Taylor)
  6. Date: Wed, 23 Dec 1992 00:46:00 GMT
  7. References: <ARA.92Dec21193839@camelot.ai.mit.edu>
  8. Distribution: sci
  9. Organization: Department of Mathematics, University of Canterbury
  10. Nntp-Posting-Host: sss330.canterbury.ac.nz
  11. Lines: 47
  12.  
  13. In article <ARA.92Dec21193839@camelot.ai.mit.edu>, ara@zurich.ai.mit.edu (Allan Adler) writes:
  14. |> 
  15. |> Let x be a positive real number.
  16. |> Let g(n,x) be defined as follows:
  17. |> 
  18. |> (1) g(n,x) is a strictly increasing sequence of positive integers, possibly
  19. |>      a terminating sequence.
  20. |> (2) for all n, g(n,x) is the smallest integer consistent with (1)
  21. |>     such that the sum of the reciprocals of g(k,x) for k=1,...,n
  22. |>     does not exceed x.
  23. |> 
  24. |> I have been told that if x is rational then this leads to a way of writing
  25. |> x as a finite sum of reciprocals of distinct positive integers. Let the number
  26. |> of terms in this sum be N=N(x). I have been told that N is also the number of
  27. |> terms in a minimal representation of x as a sum of reciprocals of positive
  28. |> integers allowing repetitions.
  29. |> 
  30. |> Is this true and if so how or where is it proved?
  31.  
  32. The second statement is false.
  33.  
  34. Let x = 9/20.
  35. Then the sequence of g(n,x) is  3, 9, 180.
  36.  
  37. So N=3, but this is not minimal as  x = 1/4 + 1/5 . 
  38.  
  39.  
  40. The first statement is true. That is, for x rational, the process of constructing
  41. the g(n,x) is certain to terminate. This is easily seen by noting that the
  42. successive remainders after subtracting the 1/g(n,x) terms are fractions whose
  43. numerators strictly decrease, so must eventually reach 1.
  44.  
  45. If  x (or its current remainder) is p/q, and is approximated below by 1/n,
  46.  
  47. i.e.  1/n < p/q < 1/(n-1)  ,  ....(A) 
  48.  
  49. then next remainder = p/q - 1/n
  50.                     = (pn-q)/qn    and (pn-q) < p  from (A).       Q.E.D.
  51. -------------------------------------------------------------------------------
  52.               Bill Taylor              wft@math.canterbury.ac.nz
  53. -------------------------------------------------------------------------------
  54.                    All finite math is essentially trivial.
  55.                    All continuum math is essentially false.
  56. -------------------------------------------------------------------------------
  57.  
  58.  
  59.  
  60.