home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / sci / math / 17324 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-12-22  |  2.8 KB  |  55 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!enterpoop.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  3. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: Re: more math puzzles
  5. Message-ID: <1992Dec21.185416.4483@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: riesz
  8. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  9. References: <24341@galaxy.ucr.edu> <1992Dec18.101409.4666@black.ox.ac.uk> <1992Dec21.103233.723@black.ox.ac.uk>
  10. Date: Mon, 21 Dec 92 18:54:16 GMT
  11. Lines: 42
  12.  
  13. In article <1992Dec21.103233.723@black.ox.ac.uk> mbeattie@black.ox.ac.uk (Malcolm Beattie) writes:
  14. >In article <1992Dec18.101409.4666@black.ox.ac.uk> mbeattie@black.ox.ac.uk (Malcolm Beattie) writes:
  15. >>In article <24341@galaxy.ucr.edu> baez@ucrmath.ucr.edu (john baez) writes:
  16. >>>3)  Prove that the tangent bundle of the long line is nontrivial.
  17.  
  18. >>First, the answer. Let L be the long line (more of which, later
  19. >>in this post.) Assume for a contradiction that TL is trivial.
  20. >>Then TL has a nowhere-vanishing section. Integrate this to get
  21. >>a monotonic map from the reals to L. Any such map from the
  22. >>reals to L must eventually become constant at some point of L
  23. >>and the section therefore vanishes at that point. Contradiction.
  24.  
  25. >Rubbish :-) ...
  26. >Surely there must be a nicer proof than this?
  27.  
  28. I'll relent and give Hirsch's one-sentence proof.  If the tangent bundle
  29. of the long line were trivial, the long line would admit a Riemannian
  30. metric, hence be metrizable, but it's not.
  31.  
  32. Perhaps some clarification might help those who aren't differential
  33. geometry junkies.  The long line is not metrizable, i.e. it does not
  34. admit a metric inducing its standard topology, essentially because it's
  35. way too long.  It's also not paracompact.  Usually one only considers
  36. paracompact smooth manifolds.  Paracompact smooth manifolds always admit
  37. a Riemannian metric and hence, if they are connected, are metrizable.
  38. But this fails without paracompactness.  If the tangent bundle of the
  39. long line were trivial, all the tensor bundles would be, so one could
  40. find a constant section of the bundle of (0,2) tensors (or is it (2,0)
  41. tensors - I refuse to learn this convention!) giving the long line a
  42. Riemannian metric - a contradiction.
  43.  
  44. If one has never shown the following, one should: every sum of
  45. uncountably many positive real numbers diverges.  In a heuristic sort of
  46. way this is why one might expect the long line not to be metrizable:
  47. it's built out of uncountably many intervals, and if all of these had
  48. positive length one could find two points that were infinitely far away
  49. because there were uncountably many intervals between them.  That's no
  50. proof, mind you.  
  51.  
  52. I don't feel I understand this all as well as I might.  Someone with
  53. good German might try Koch and Puppe, Differenzbar Strukturen auf
  54. Mannifaltigkeiten ohne abzahlbare Basis, Arch. D. Math. 9 (1960) p. 104.
  55.