home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #31 / NN_1992_31.iso / spool / rec / puzzles / 8096 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-12-22  |  4.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!bnr.co.uk!uknet!acorn!armltd!dseal
  2. From: dseal@armltd.co.uk (David Seal)
  3. Newsgroups: rec.puzzles
  4. Subject: Re: The Worm and the Blanket Problem
  5. Message-ID: <11007@armltd.uucp>
  6. Date: 22 Dec 92 16:46:11 GMT
  7. References: <1992Dec21.010532.14305@thunder.mcrcim.mcgill.edu>
  8. Sender: dseal@armltd.uucp
  9. Distribution: rec
  10. Organization: A.R.M. Ltd, Swaffham Bulbeck, Cambs, UK
  11. Lines: 105
  12.  
  13. In article <1992Dec21.010532.14305@thunder.mcrcim.mcgill.edu>
  14. mouse@thunder.mcrcim.mcgill.edu (der Mouse) writes:
  15.  
  16. >None.  But the blanket gets to move to follow it.  (Blanket motion is
  17. >rigid, purely translation and rotation.)
  18. >
  19. >Blanket motion may or may not be allowed to be discontinuous; all the
  20. >answers I've seen so far are for the discontinuity-allowed case.
  21.  
  22. One solution I've seen posted so far works with continuous motion of the
  23. blanket, namely the circle of diameter 1. All you need to do is keep its
  24. centre over the centre of the worm, so if the worm moves contnuously, so
  25. does the blanket.
  26.  
  27. The square of diagonal 1 comes close. This is guaranteed to cover the worm
  28. if you make one diagonal of the blanket cover both endpoints of the worm,
  29. then slide it along until the midpoint of the worm is on the other diagonal.
  30. This position changes continuously as the worm moves continuously, *except*
  31. when the two endpoints of the worm coincide. E.g. consider the worm moving
  32. as follows:
  33.  
  34.       *                   *                             ^
  35.      / \                  ||                            *|
  36.     /   \       ==>       || (folded in half)     ==>   ||
  37.    /     \                ||                            |*
  38.   *       *               **                            |
  39.                                                         *
  40.  
  41. I.e. first it folds around its midpoint until the two halves are together,
  42. then it moves to extend one part and shorten the other. The rule above would
  43. place the blanket at an angle of 45 degrees to the horizontal throughout
  44. this motion. However, during the first part of the motion, it would be
  45. centred halfway between the two endpoints of the worm; during the second, it
  46. would be centred on the midpoint of the worm. At the midpoint of the motion,
  47. therefore, the blanket would have to "jump" a distance of 1/2 upwards.
  48.  
  49. However, I observe that this "jump" seems to be artificial: the worm can be
  50. covered quite easily when its two endpoints are close together. The problem
  51. is that the exact rule we've chosen to position the blanket is
  52. discontinuous, and not necessarily that *any* such rule has to be
  53. discontinuous. This suggests modifications of this rule, whereby the blanket
  54. moves according to the rule if the worm's endpoints are far apart and by
  55. some other rule if they are close together. I don't know quite how to do
  56. this, though: if anyone has any ideas, please post them.
  57.  
  58. If this can be done, a better continuously-moving blanket might be achieved
  59. by taking the union of a square of diagonal 1-2D and a 2D by 1-2D rectangle
  60. (at an angle of 45 degrees to the square) with semicircular endcaps of
  61. radius D:
  62.  
  63.                     *
  64.                   / | \
  65.                 /   |   \
  66.               /     |     \
  67.      _--*-----      |1/2-D -----*--_
  68.     /   |D          |          D|   \
  69.    | D  |   1/2-D   |   1/2-D   |  D |
  70.    *----*-----------*-----------*----*
  71.    |    |           |           |    |
  72.     \_  |D          |          D|  _/
  73.        -*-----      |1/2-D -----*--
  74.               \     |     /
  75.                 \   |   /
  76.                   \ | /
  77.                     *
  78.  
  79. This would be moved to keep the points at distance D and 1-D along the worm
  80. under the horizontal axis and the point 1/2 the way along the worm on the
  81. vertical axis, at least while the first two points are far apart (a similar
  82. modification to the one above would be used when they were close together to
  83. keep the motion continuous). The central part of the worm would be covered
  84. by the square of diagonal 1-2D, while the two ends would be covered by the
  85. rectangle and its circular caps.
  86.  
  87. Of course, getting the details right of what happens when the points at a
  88. distance D and 1-D along the worm are close together is the tricky part! If
  89. it can be achieved, though, this gives us a blanket of area:
  90.  
  91.   PI*D^2 + 2*D*(1-2*D) + 2*(1/2-2*D)^2
  92.    = PI*D^2 + 1/4 + (1/2-2*D)^2        if 0 <= D <= 1/4
  93.  
  94.   PI*D^2 + 2*D*(1-2*D)
  95.    = PI*D^2 + 1/4 - (1/2-2*D)^2        if 1/4 <= D <= 1/2
  96.  
  97. If I've done the calculations right, this is minimised at D = 1/(4+PI) =
  98. approximately 0.140025, giving an area of:
  99.  
  100.   PI/(4+PI)^2 + 1/4 + (PI/(8+2*PI))^2
  101.  
  102.   = 1/4 + (4*PI + PI^2)/(8+2*PI)^2
  103.  
  104.   = 1/4 + PI/(16+4*PI)
  105.  
  106.   = 1/2 - 1/(PI+4)
  107.  
  108.   = 1/2 - D
  109.  
  110. i.e. about 0.359975.
  111.  
  112. Anyone able to fill in the holes in the ideas above?
  113.  
  114. David Seal
  115. dseal@armltd.co.uk
  116.  
  117. All opinions are mine only...
  118.