home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 19207 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-18  |  3.3 KB  |  86 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!sun-barr!cs.utexas.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!uwm.edu!ux1.cso.uiuc.edu!news.iastate.edu!pv343f.vincent.iastate.edu!abian
  3. From: abian@iastate.edu (Alexander Abian)
  4. Subject: TIME HAS INERTIA .  Att:  PRATT  and BUDNIK - AXIOM OF CHOICE
  5. Message-ID: <abian.722147824@pv343f.vincent.iastate.edu>
  6. Summary: ABIAN GIVES SET-THEORETICAL MODELS WITH AND WITHOUT AXIOM OF CHOICE
  7. Keywords: Set-theoretical Models, AXIOM OF CHOICE
  8. Sender: news@news.iastate.edu (USENET News System)
  9. Organization: Iowa State University, Ames IA
  10. Date: Thu, 19 Nov 1992 04:37:04 GMT
  11. Lines: 73
  12.  
  13.                                     11-18-92
  14.  
  15. Dear Messrs  PRATT and BUDNIK,
  16.  
  17.  I will give you a set-theoretical model  S  in which the Axiom of Choice
  18. is valid and I will give you a set-theoretical model K in which the Axiom
  19. of Choice is not valid.   Of course these are not models for ZF set-
  20. theory.  But S  as well as  K  are set-theoretical models for very, very, 
  21. very modest and weak set-theories:
  22.     
  23.    We denote by {a, b, ...}  a set whose elements are  a, b, ...
  24.  
  25.    The set-theoretical model S  has only the following sets:
  26.  
  27. { }  empty set denoted by  0,   {0},   {{0}},   {0,{0}},   {{0},{{0}}}
  28.   
  29.   
  30.  
  31. AXIOM OF CHOICE STATES:  A nonempty set whose elements are pairwise 
  32.                          disjoint nonempty sets  has a CHOICE SET. 
  33.  
  34.     
  35.  THEOREM.  In set-theoretical model  S  the Axiom of Choice is valid.
  36.  
  37.  PROOF. It suffices to show that  the sets  {{0}}   and  {{0},{{0}}}
  38.         of model  S  have Choice sets.
  39.  
  40.  Clearly,   {0} is a Choice set of  {{0}}      and
  41.            
  42.             {0, {0}}   is a Choice set of  {{0}, {{0}}} 
  43.  
  44. and both of them are sets of  S.
  45.  
  46.     
  47.     Next, I introduce the set-theoretical model  K.
  48.     
  49.     Using notations introduced above,
  50.    
  51.     The set-theoretical model  K  has only the following sets:
  52.  
  53.           0,     {0},     {{0}},        {{0}, {{0}}} 
  54.  
  55.   
  56.   THEOREM.  In  set-theoretical model K  the Axiom of Choice fails.
  57.  
  58.   PROOF. The set  {{0}}, {{0}}}  fails to have a Choice set in the model K.
  59.           
  60.   (because the only candidate for its Choice set is  {0,{0}} which is
  61.    not a set of  K)  
  62.  
  63.  
  64.  
  65.   P.S. Although  S  and  K  are set-theoretical models for extremely,
  66.        extremely, extremely week set-theories, nevertheless my exposi-
  67.        tion  exhibits, presents and clarifies the crux of the matter,  
  68.        and dispels the myth surrounding  the Axiom of Choice.
  69.        Of course, to construct a model which supplies all the sets  
  70.        required by Zermelo-Fraenkel axioms and where AC is not vlid 
  71.        is a monumental task and needs extremely skillful and ingenious 
  72.        construction, which was done by P.J.Cohen who is at Stanford,
  73.        where, Mr. Pratt you are too. Cohen (being a true genius) must agree 
  74.        that my models convey the gist of the gist of the matter. Ask him!.
  75.     
  76.   There may be some typos - it is around midnight and I am emotionally
  77.   exhausted, and cannot proof-read.
  78.  
  79.       With best wishes and regards,   
  80.                                            Alexander ABIAN
  81. -- 
  82.    The tendency of maintaining the status-quo, Reaction to provocation and
  83.                 The tendency of maintaining again a status-quo.  
  84.     TIME HAS INERTIA  and some energy is lost to move Time forward  
  85.   E = mcc  (Einstein)    must be replaced by    E = m(0) exp(-At) (Abian)
  86.