home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 19182 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-18  |  3.6 KB  |  100 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!gumby!destroyer!news.iastate.edu!pv343f.vincent.iastate.edu!abian
  3. From: abian@iastate.edu (Alexander Abian)
  4. Subject: Re: TIME HAS INERTIA. ABIAN's PROOF OF THE FUND. THM. OF ALGEBRA 
  5. Message-ID: <abian.722124717@pv343f.vincent.iastate.edu>
  6. Keywords: CORRECTION        FUNDAMENTAL THM. OF ALGEBRA
  7. Sender: news@news.iastate.edu (USENET News System)
  8. Organization: Iowa State University, Ames IA
  9. References: <abian.721281610@pv343f.vincent.iastate.edu> <abian.721303213@pv343f.vincent.iastate.edu>
  10. Date: Wed, 18 Nov 1992 22:11:57 GMT
  11. Lines: 87
  12.  
  13. In <abian.721303213@pv343f.vincent.iastate.edu> abian@iastate.edu (Alexander Abian) writes:
  14.  
  15. >                          CORRECTION
  16. >  
  17. >           PLEASE  SUBSTITUTE THIS FOR PREVIOUS  VERSION
  18.  
  19. >Dear Mr. C.G 
  20. > 
  21. >  You asked me to give a proof of the Fundamental Theorem of
  22. >Algebra by e-mail.  I post only in TIME HAS INERTIA.  Here is my own
  23. >proof (I am almost sure that I have published it somewhere).
  24. > 
  25.  
  26. >   THEOREM.  Every nonconstant polynomial over complex numbers has a
  27. >             root.
  28.  
  29. >   PROOF. Assume on the contrary that  a + bz +...+ kz^n   with nonzero k, 
  30. > 
  31. >has no root, i.e., never vanishes.  Thus,  REWRITING THE POLYNOMIAL
  32.  
  33. >IN DESCENDING POWERS    kz^n + ... + bz + a     it follows that the
  34.  
  35. >quotient (since by our assumption never vanishes)
  36.  
  37. >(1)    1 / (kz^n + ...+ bz + a)         
  38. >  
  39. >has a derivative at every point of the z-plane.
  40. >   
  41. >Hence, in particular,  
  42.  
  43. >(2)    0   is an analytic point of  1/(kz^n + ... + bz + a),  and there-
  44.  
  45. >fore the latter has a Laurent expansion in powers of  z  valid in the entire 
  46. >plane  (since we are over complex numbers - this is  not true over real 
  47. >numbers). 
  48. >  
  49. >  However, the Laurent expansion can be obtained by LONG DIVISION of (1).
  50. >  
  51. >Performing the long division of (1), we obtain
  52.  
  53. >(3)   1/(kz^n + ...+ bz + a)  =  (1/k) z^(-n) + ........
  54. > 
  55. >But (3) shows that  0  is an essential isolated singularity or a pole of 
  56. >                   
  57. >                    1/(kz^n + ...+ bz + a)
  58. > 
  59. >contradicting (2).  Hence our assumption is false and the Theorem is
  60. >proved.
  61.  
  62. >P.S.  Note that the proof will fail if instead of a polynomial we con-
  63. >      sider an entire function  (i.e., a power series, i.e., so to speak 
  64. >"an infinite polynomial"). The reason is that one cannot rewrite the
  65. >power series in descending order. Indeed, there are nonvanishing power
  66. >series such as the power series of  e^z.
  67. >     With best regards,                              Alexander ABIAN
  68. >           
  69.  
  70. >P.S.  I typed the previous version and I thought that I pressed "i"
  71. >      to check the spelling and the mistakes.  Apparently I pressed
  72. >      "s" because I could no longer edit the text.
  73. >       Also, I know all the standard proofs e.g., by Liouville's Thm.
  74.  
  75.  
  76.  
  77.  
  78.  
  79.  
  80.  
  81.  
  82.  
  83.  
  84.  
  85. >>-- 
  86. >>   The tendency of maintaining the status-quo, Reaction to provocation and
  87. >>                The tendency of maintaining again a status-quo.  
  88. >>    TIME HAS INERTIA  and some energy is lost to move Time forward  
  89. >>  E = mcc  (Einstein)    must be replaced by    E = m(0) exp(-At) (Abian)
  90. >-- 
  91. >   The tendency of maintaining the status-quo, Reaction to provocation and
  92. >                The tendency of maintaining again a status-quo.  
  93. >    TIME HAS INERTIA  and some energy is lost to move Time forward  
  94. >  E = mcc  (Einstein)    must be replaced by    E = m(0) exp(-At) (Abian)
  95. -- 
  96.    The tendency of maintaining the status-quo, Reaction to provocation and
  97.                 The tendency of maintaining again a status-quo.  
  98.     TIME HAS INERTIA  and some energy is lost to move Time forward  
  99.   E = mcc  (Einstein)    must be replaced by    E = m(0) exp(-At) (Abian)
  100.