home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 19126 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-17  |  3.5 KB  |  97 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!gumby!destroyer!news.iastate.edu!pv343f.vincent.iastate.edu!abian
  3. From: abian@iastate.edu (Alexander Abian)
  4. Subject: Re: TIME HAS INERTIA.   Att:  PRATT  FUND. THM. OF ALGEBRA 
  5. Message-ID: <abian.722071648@pv343f.vincent.iastate.edu>
  6. Keywords: CORRECTION        FUNDAMENTAL THM. OF ALGEBRA
  7. Sender: news@news.iastate.edu (USENET News System)
  8. Organization: Iowa State University, Ames IA
  9. References: <abian.721281610@pv343f.vincent.iastate.edu> <abian.721303213@pv343f.vincent.iastate.edu>
  10. Date: Wed, 18 Nov 1992 07:27:28 GMT
  11. Lines: 84
  12.  
  13. In <abian.721303213@pv343f.vincent.iastate.edu> abian@iastate.edu (Alexander Abian) writes:
  14.  
  15.  
  16. Mr. PRATT - here is my proof of FTA:
  17.  
  18.  
  19. >  You asked me to give a proof of the Fundamental Theorem of
  20. >Algebra by e-mail.  I post only in TIME HAS INERTIA.  Here is my own
  21. >proof (I am almost sure that I have published it somewhere).
  22. > 
  23.  
  24. >   THEOREM.  Every nonconstant polynomial over complex numbers has a
  25. >             root.
  26.  
  27. >   PROOF. Assume on the contrary that  a + bz +...+ kz^n   with nonzero k, 
  28. > 
  29. >has no root, i.e., never vanishes.  Thus,  REWRITING THE POLYNOMIAL
  30.  
  31. >IN DESCENDING POWERS    kz^n + ... + bz + a     it follows that the
  32.  
  33. >quotient (since by our assumption never vanishes)
  34.  
  35. >(1)    1 / (kz^n + ...+ bz + a)         
  36. >  
  37. >has a derivative at every point of the z-plane.
  38. >   
  39. >Hence, in particular,  
  40.  
  41. >(2)    0   is an analytic point of  1/(kz^n + ... + bz + a),  and there-
  42.  
  43. >fore the latter has a Laurent expansion in powers of  z  valid in the entire 
  44. >plane  (since we are over complex numbers - this is  not true over real 
  45. >numbers). 
  46. >  
  47. >  However, the Laurent expansion can be obtained by LONG DIVISION of (1).
  48. >  
  49. >Performing the long division of (1), we obtain
  50.  
  51. >(3)   1/(kz^n + ...+ bz + a)  =  (1/k) z^(-n) + ........
  52. > 
  53. >But (3) shows that  0  is an essential isolated singularity of 
  54. >                   
  55. >                    1/(kz^n + ...+ bz + a)
  56. > 
  57. >contradicting (2).  Hence our assumption is false and the Theorem is
  58. >proved.
  59.  
  60. >P.S.  Note that the proof will fail if instead of a polynomial we con-
  61. >      sider an entire function  (i.e., a power series, i.e., so to speak 
  62. >"an infinite polynomial"). The reason is that one cannot rewrite the
  63. >power series in descending order. Indeed, there are nonvanishing power
  64. >series such as the power series of  e^z.
  65. >     With best regards,                              Alexander ABIAN
  66. >           
  67.  
  68. > PS.  I know all the standard proofs e.g., by Liouville's Thm.
  69.        But no proof is as gorgeous as the above.  It is a
  70.        beauty !  See especially  the shorter version of this
  71.        proof under   THE GIST OFMY FTA PRROF in TIME HAS INERTIA
  72.  
  73.  
  74.  
  75.  
  76.  
  77.  
  78.  
  79.  
  80.  
  81.  
  82. >>-- 
  83. >>   The tendency of maintaining the status-quo, Reaction to provocation and
  84. >>                The tendency of maintaining again a status-quo.  
  85. >>    TIME HAS INERTIA  and some energy is lost to move Time forward  
  86. >>  E = mcc  (Einstein)    must be replaced by    E = m(0) exp(-At) (Abian)
  87. >-- 
  88. >   The tendency of maintaining the status-quo, Reaction to provocation and
  89. >                The tendency of maintaining again a status-quo.  
  90. >    TIME HAS INERTIA  and some energy is lost to move Time forward  
  91. >  E = mcc  (Einstein)    must be replaced by    E = m(0) exp(-At) (Abian)
  92. -- 
  93.    The tendency of maintaining the status-quo, Reaction to provocation and
  94.                 The tendency of maintaining again a status-quo.  
  95.     TIME HAS INERTIA  and some energy is lost to move Time forward  
  96.   E = mcc  (Einstein)    must be replaced by    E = m(0) exp(-At) (Abian)
  97.