home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 19100 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-17  |  4.7 KB
  1. From: ric@hpspdla.spd.HP.COM (Ric Peregrino)
  2. Date: Tue, 17 Nov 1992 18:37:40 GMT
  3. Subject: Re: Covariant vs. Lie Derivative in Gen. Rel.?
  4. Message-ID: <12950099@hpspdla.spd.HP.COM>
  5. Organization: HP Stanford Park - Palo Alto, CA
  6. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!ames!saimiri.primate.wisc.edu!sdd.hp.com!hpscit.sc.hp.com!scd.hp.com!hpscdm!hplextra!hpl-opus!hpspdla!ric
  7. Newsgroups: sci.physics
  8. References: <1992Nov16.221115.9273@galois.mit.edu>
  9. Lines: 115
  10.  
  11.  
  12. I wrote:
  13.  
  14. >The "connection" is an additional restraint that need not
  15. >be imposed to insure the tensor character of the resulting tensor.
  16.  
  17. John writes:
  18.  
  19. >Huh?  This makes no sense to me, which is probably related to
  20. >the problem you are having.  The "connection" is not a restraint, or
  21. >constraint.  There are many ways of thinking about connections but the
  22. >most relevant here is that the connection simply IS the entity
  23. >
  24. >   k
  25. > G
  26. >  ij
  27. >
  28. >More precisely, the Christoffel symbol expresses the connection in a
  29. >given coordinate system (or frame).   It's obvious from this point of
  30. >view that one needs a connection to define covariant derivatives.
  31.  
  32. I don't know but,,,
  33.  
  34. I found in Spain's "Tensor Calculus" a formulation of a covariant
  35. derivative which starts with the transformation law of the metric
  36. tensor.
  37.  
  38. (21.1) g'  = (dx /dx')(dx /dx') g  , where the derivatives are partials.
  39.         mn                      ij
  40.  
  41. Now differentiate wrt x' to get
  42.  
  43.                 o      i   m    j   n    k   o         k
  44. (21.1a) dg'  /dx' = (dx /dx')(dx /dx')(dx /dx')(dg  /dx ) +
  45.           mn                                      ij
  46.  
  47.                     2 i   m  o    j   n      2 j   n  o    i   m
  48.              g  { (d x /dx'dx')(dx /dx') + (d x /dx'dx')(dx /dx') }
  49.               ij
  50.  
  51. Subtract this equation from the sum of the two equations obtained by
  52. appropriate (not cyclic) interchange of indices to obtain:
  53.  
  54.                      i   m    j   n    k   o
  55. (21.2a) [mn,o]' = (dx /dx')(dx /dx')(dx /dx')[ij,k] +
  56.  
  57.                                   i   o   2 j   m  n
  58.                    .5(g  + g  )(dx /dx')(d x /dx'dx')
  59.                        ij   ji
  60.  
  61. Appropriate manipulations finally yield the formulae:
  62.  
  63.           2 r   m  n   ij   r   j            kr   i   m    j   n
  64. (21.5a) (d x /dx'dx')=s' (dx /dx')[mn,i]' - s  (dx /dx')(dx /dx')[ij,k] ,
  65.  
  66.                            ij      j          j
  67. where s  = g  + g   , and s  s  = d  , where d  = 1 if j=k, else =0.
  68.        ij   ij   ji           ik   k          k
  69.  
  70. Now differentiate the transformation law of a tensor and replace the 2nd
  71. order partial derivative with the above formulae (21.5a) and you get a
  72. formulation of the covariant derivative.
  73.  
  74.          i    i   j   ki        n    i   j   i  k
  75. (22.2a) A = dA /dx + s  [nj,k] A = dA /dx + G  A
  76.          ,j                                  kj
  77.  
  78. But hey! Instead of g, use any non-singular covariant tensor of rank 2 in
  79. (21.1) and you get another G, but the resultant A is still a tensor in that
  80. it obeys the transformation law of tensors, with the new index being a
  81. covariant index. This is what I meant by:
  82.  
  83. >The "connection" is an additional restraint that need not
  84. >be imposed to insure the tensor character of the resulting tensor.
  85.  
  86. What I think the "connection" is (correct me if I'm wrong) that which
  87. constrains the choice of G. By imposing the restriction that the inner product
  88. of two tensors has zero variation along an infinitesimal parallel transport.
  89. This leads to the relations:
  90.  
  91.                     m       m       m   m         m   m
  92. (70b) 2[ij,k] = g  G  + g  G  + g (G - G  ) + g (G - G  )
  93.                  mk ij   km ji   im kj  jk     mj ki  ik
  94.  
  95. which if g and G are symmetric in their lower indices, reduces G to the
  96. Christoffel symbol of the second kind. The symmetry of g will be given, but
  97. that of G in it's two lower indices is not. In Einstein's "The Meaning of
  98. Relativity", he suggests that G must be symmetric since a parallel
  99. transport along dx1 of dx2 must give the same result as that for dx2
  100. along dx1.
  101.  
  102. John also writes:
  103.  
  104. >You misunderstood my point since I wasn't precise enough.  To take the
  105. >covariant derivative of a tensor A in a given direction v at a certain
  106. >point x, all *v* needs to be is a tangent vector at x.  I would write
  107. >this covariant derivative as D_v A(x); in coordinates it's
  108. >
  109. > j
  110. >v A   (x)
  111. >   i;j
  112.  
  113. I had misunderstood you. Still, why does v need to be a tangent vector?
  114.  
  115.  j        k  1/2
  116. v A    /(v v )    , here can't v be any non-null vector?
  117.    i;j      k
  118.  
  119. Getting in way over my head,
  120.  
  121. --------------------------------------------------------------------
  122. Ric Peregrino   c/o Hewlett Packard Co.    I represent only myself
  123. ric@spd.hp.com  1501 Page Mill Rd Bldg 5M  I may be wrong, maybe so
  124. 415-857-7526    Palo Alto, CA 94304        Do DC photons exist?
  125. --------------------------------------------------------------------
  126.