home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 19047 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-17  |  2.8 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:19047 sci.math:15107
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!usc!sdd.hp.com!spool.mu.edu!darwin.sura.net!jvnc.net!yale.edu!ira.uka.de!news.belwue.de!eratu.rz.uni-konstanz.de!nyx.uni-konstanz.de!phfrom
  4. From: phfrom@nyx.uni-konstanz.de (Hartmut Frommert)
  5. Subject: Re: Covariant vs. Lie Derivative in Gen. Rel.?
  6. Message-ID: <phfrom.385@nyx.uni-konstanz.de>
  7. Sender: usenet@eratu.rz.uni-konstanz.de
  8. Organization: Dept. of Physics, University of Constance
  9. References: <1992Nov11.062853.22717@galois.mit.edu> <1992Nov12.172748.16273@kakwa.ucs.ualberta.ca> <1992Nov13.213840.10075@galois.mit.edu> <1992Nov15.230139.24943@sbcs.sunysb.edu>
  10. Date: Tue, 17 Nov 1992 09:25:05 GMT
  11. Lines: 43
  12.  
  13. rscott@libws3.ic.sunysb.edu (Robert Scott) writes:
  14.  
  15. >ISN'T IT EASY TO SHOW THAT THE LIE ALGEBRA OF SYMMETRIES OF AN
  16. >AFFINE CONNECTION ON A CONNECTED FINITE-DIMENSIONAL MANIFOLD IS
  17. >FINITE-DIMENSIONAL?  THUS THE LIE ALGEBRA OF INFINITESIMAL
  18. >SYMPLECTOMORPHISMS OF A SYMPLECTIC MANIFOLD IS FAR TOO BIG TO
  19. >PRESERVE AN AFFINE CONNECTION.
  20.  
  21. You confuse me a bit :)
  22.  
  23. If I understand right, the covariant derivative must only preserve the 
  24. symplectic metric j with components
  25.  
  26.   j_{ab} = j_{[ab]} = - j_{ba} , 
  27.  
  28. not the set of all symplectic transformations, to obtain a metricity 
  29. condition analogous to the Riemannian: There the Levi-Civita connection only 
  30. leaves (pseudo)-orthogonal g invariant, not all elements of the Lorentz 
  31. group. The symplectic metricity condition reads explicitely
  32.  
  33.   0 == - j_{ab;c} = - j_{ab,c} + j_{db} G^d_{ac} + j_{ad} G^d_{bc} .
  34.                                                    ^^^^^^
  35.                                                  = - j_{da}
  36.  
  37. The connection is then a 1-form with values in the symplectic Lie 
  38. algebra which is defined as the set of all generators of transformations 
  39. that leave j invariant, as the Riemannian is contained in the (local, 
  40. [pseudo]-orthogonal) invariance group of g. As I tried to line out in a 
  41. previous posting, I do not see a reasonable argument for uniquely fixing a 
  42. symplectic-metric connection, which happens to be possible for the 
  43. Riemannian by the demand of vanishing torsion, so that there remain 
  44. connection components independent of j.
  45.  
  46. BTW: The symplectic Lie algebra Sp(D,j) is of course finite-dimensional at 
  47.   each point, and the j-metric connection is contained in it by def. It is
  48.   only infinite-dimensional (like the space of any scalar, vector, tensor, 
  49.   spinor, or isotensor fields, i.e. the corresponding bundle) when viewed 
  50.   non-locally, i.e. in some neighborhood, etc. Dimension of Sp(D,j) is   
  51.   D*(D+1)/2  if D is the dimension of the manifold under consideration.
  52. --
  53.  Hartmut Frommert                 <phfrom@nyx.uni-konstanz.de>
  54.  Dept of Physics, Univ of Constance, P.O.Box 55 60, D-W-7750 Konstanz, Germany
  55.                                            -- Eat whale killers, not whales --
  56.