home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / physics / 18958 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-16  |  2.1 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:18958 sci.math:15038
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!mcsun!ieunet!tcdcs!maths.tcd.ie!dwilkins
  4. From: dwilkins@maths.tcd.ie (David Wilkins)
  5. Subject: Re: Covariant vs. Lie Derivative in Gen. Rel.?
  6. Message-ID: <1992Nov16.115116.4773@maths.tcd.ie>
  7. Organization: Dept. of Maths, Trinity College, Dublin, Ireland.
  8. References: <1992Nov12.172748.16273@kakwa.ucs.ualberta.ca> <1992Nov13.213840.10075@galois.mit.edu> <1992Nov15.230139.24943@sbcs.sunysb.edu>
  9. Date: Mon, 16 Nov 1992 11:51:16 GMT
  10. Lines: 38
  11.  
  12. >In article <1992Nov13.213840.10075@galois.mit.edu> jbaez@riesz.mit.edu
  13. >(John C. Baez) writes:
  14. >>As for other cases, I'm suspicious.  Take a look at the proof of the
  15. >>existence and uniqueness of the Levi-Civita connection and see what
  16. >>happens if your metric is replaced by a nondegenerate *skew-symmetric*
  17. >>bilinear form on the tangent bundle.  I'm afraid something will go
  18. >>wrong.  Why?  If nothing did, every symplectic maniold would be blessed
  19. >>with a natural connection analogous to the Levi-Civita connection.  If
  20. >>such a thing existed I should have heard about it, but I haven't.  Of
  21. >>course, it's possible that I am missing out on this crucial facet of
  22. >>symplectic geometry!!
  23. >>
  24. >>Perhaps the symplectic geometers and fans of gravity theories with
  25. >>asymmetric metric tensors can straighten this out in a jiffy.
  26.  
  27. >
  28. >
  29. >ISN'T IT EASY TO SHOW THAT THE LIE ALGEBRA OF SYMMETRIES OF AN
  30. >AFFINE CONNECTION ON A CONNECTED FINITE-DIMENSIONAL MANIFOLD IS
  31. >FINITE-DIMENSIONAL?  THUS THE LIE ALGEBRA OF INFINITESIMAL
  32. >SYMPLECTOMORPHISMS OF A SYMPLECTIC MANIFOLD IS FAR TOO BIG TO
  33. >PRESERVE AN AFFINE CONNECTION.
  34. >
  35. >
  36. >-JAMES DOLAN
  37.  
  38. A good reference for this sort of result is
  39. `Transformation groups in differential geometry' by S. Kobayashi
  40.  
  41. Offhand, there is a possibility that one might require compactness
  42. of the structural group to make things work: one approach for
  43. generalizing the Riemannian result is to define a Riemannian
  44. metric on the total space of the frame bundle in such a way
  45. that connection-preserving maps of the manifold lift to
  46. isometries of the frame bundle.  I seem to recall seeing
  47. something like this in Kobayashi and Nomizu.
  48.  
  49. DRW
  50.