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/ NetNews Usenet Archive 1992 #27 / NN_1992_27.iso / spool / sci / math / 15431 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-23  |  2.4 KB  |  65 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!mcsun!fuug!prime!mits!rkaivola
  3. From: rkaivola@mits.mdata.fi (Risto Kaivola)
  4. Subject: Re: Fermat's Last Theorem and the FAQ
  5. Organization: Microdata Oy
  6. Date: Mon, 23 Nov 1992 21:37:16 GMT
  7. Message-ID: <rkaivola.722554636@mits>
  8. References: <rkaivola.722428224@mits> <1992Nov22.132034.24496@ms.uky.edu>
  9. Sender: usenet@prime.mdata.fi (Usenet poster)
  10. Nntp-Posting-Host: mits.mdata.fi
  11. Lines: 52
  12.  
  13. cyeomans@ms.uky.edu (Charles Yeomans) writes:
  14.  
  15. >In article <rkaivola.722428224@mits> rkaivola@mits.mdata.fi (Risto Kaivola) writes:
  16. >>I haven't seen the FAQ for weeks, and I don't know if it answers my
  17. >>question.  If it does, I apologize for the inconvenience.
  18. >> [deleted]
  19. >>
  20. >>n >=3 upto some fixed constant (quite large, I imagine).  My question
  21. >>is this:  Are there some other trivial cases like this, where we
  22. >>can easily show FLT to be true for infinitely many n?
  23. >>
  24. >Why, yes there are .  I can prove that FLT is true for all n which are
  25. >divisible by 3.  I wonder if this can be generalized.
  26.  
  27. >Charles Yeomans
  28.  
  29.  
  30. I am interested in your proof.  Meanwhile, here is my proof that there
  31. are no odd x,y such that for an even n >=2,
  32. (A)                             (x**n) + (y**n) = (z**n) for an integer z:
  33.  
  34. Suppose that there exist odd x,y such that the above equation is satisified.
  35. Then, it is clear that the right side of the above equation is divisible by
  36. 2, and consequently, that z is divisible by 2.
  37.  
  38. Write the above equation as
  39. (B)                           (x**2k) + (y**2k) = (2**(2k))*b
  40. for some k>0 and some b>0.
  41.  
  42. For any pair of integers x,y we can surely form the sum
  43.  
  44.                               (x**k) + (y**k)
  45. Because, in this case, x and y are odd, the above sum is even.
  46. Defining 2c to be this sum, we write the equation
  47. (C)                           (x**k) + (y**k) = 2c.
  48.  
  49. Squaring both sides of the equation (C), and subtracting the resulting
  50. equation from the equation (B), we get the equation
  51.  
  52. (x**2k) + (y**2k) - (x**2k) -2*(x**k)*(y**k) - (y**2k) = 4*d
  53.  
  54.                              <=>
  55.                                    (x**k)*(y**k) = -2*d
  56. for some integer d.
  57. But this is impossible, since both x and y are odd.  Therefore,
  58. by the contradiction just obtained, it cannot be the case that both
  59. x and y are odd, which was the thing to be proven.
  60.   Unfortunately, it seems that the above method cannot be generalized.
  61.  
  62. --
  63. Risto Kaivola
  64. (Internet address:   rkaivola@mits.mdata.fi)
  65.